Encuentre el máximo $\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^{2}b}$

Question

1) $a, b, c$ son las longitudes de las aristas de los triángulos tales que $abc = 1$ . Encuentra el máximo: $$\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^{2}b}$$

Mi idea: $$\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^{2}b}=\frac{abc}{a^3(b+c)}+\frac{abc}{b^{3}(c+a)}+\frac{abc}{c^3(a+b)}$$ Entonces usa AM-GM ? Sólo puedo encontrar min: $$\frac{1}{a^{3}\left ( b+c \right )}+\frac{1}{b^{3}\left ( c+a \right )}+\frac{1}{c^{3}\left ( a+b \right )}\geq \frac{3}{2}$$

2) Buscar para $x$ , $y$ , $z$ tal que $\left\{\begin{matrix} xy + 2(x+y)=0\\ \ yz + 2(y+z)=-3\\ zx + 2(z+x)=5 \end{matrix}\right.$

(Alguien debería editar mi post: corregir la gramática...)

Answer 1

Para $0 < \epsilon < 1$ y $a = \epsilon^2$ , $b = c = \frac 1 \epsilon$ tenemos $$ abc = 1\\ a = \epsilon^2 \leq \frac 2 \epsilon = b + c \\ b = \frac 1 \epsilon \leq \frac 1 \epsilon + \epsilon^2 = a + c \\ c = \frac 1 \epsilon \leq \frac 1 \epsilon + \epsilon^2 = a + b $$ Se cumplen todas las condiciones de la pregunta.

Ahora $$ I := \frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^{2}b} \geq \frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c} = \frac 1 {a^3(b +c)} = \frac 1 {2\epsilon^5} $$ por lo que para un tamaño arbitrario de $\epsilon$ obtenemos arbitrariamente grandes $I$ .

Answer 2

Sugerencia: Para su segunda pregunta, la sustracción de las ecuaciones en pares sugiere la sustitución $$a=x+2,\quad b=y+2, \quad c=z+2.$$ Prueba esto en el conjunto original de ecuaciones.