¿Cuál podría ser la forma posible de encontrar el Nth term de la siguiente serie en la que el signo cambia después de cada número triangular?
1 -2 -3 4 5 6 -7 -8 -9 -10 11 12 13 14 15 -16 -17 ....
La serie no puede estar en una Progresión Geométrica porque hay 4 números triangulares distintos en la serie anterior.
Utilizando la fórmula de los números triangulares observamos que si $m \in I = [2n^2+n+1,2n^2+3n+1]$ para algunos $n=0,1,2,\ldots$ entonces $f(m)=m,$ De lo contrario, $f(m)=-m.$
La única opción posible de $n$ es $ \lfloor \sqrt{m/2} \rfloor,$ ya que si escribimos $l(n) = 2n^2+n+1$ y $u(n) = 2n^2+3n+1$ escribiendo $\sqrt{m/2} = N + r,$ donde $N$ es un número entero y $0 \le r < 1$ tenemos
$$u \left( \lfloor \sqrt{m/2} \rfloor – 1 \right) = 2N^2 – N < 2N^2+4Nr+r^2 < m,$$
y así $m \notin I.$ Asimismo,
$$l \left( \lfloor \sqrt{m/2} \rfloor + 1 \right) > m,$$
así que $m \notin I.$ Por lo tanto, tenemos
$$f(m) = m \textrm{ when } m \in [2t^2+t+1,2t^2+3t+1] \textrm{ for } t = \lfloor \sqrt{m/2} \rfloor,$$ De lo contrario, $f(m)=-m.$
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