Encontrar el límite de una secuencia dada

Question

Tengo un límite como el siguiente

$${a_{n}} = \frac {2^{3n}-n3^n} {n^{1729}+8^n}$$

y me gustaría encontrar el límite de esta secuencia.

Creo que el límite es 1, por lo que he intentado demostrarlo utilizando la regla del apretón y no soy capaz de hacerlo.

Gracias a todos los que ayuden.

Answer 1

Sugerencia como $$ \frac{n3^n}{8^n}\to 0 \\ \frac{n^{1729}}{8^n}\to 0 $$ el límite es $1$ .

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Detalles:

demostremos que $\frac{n3^n}{8^n} \le C\frac1{\sqrt n}$ para un determinado $C$ . Utilizamos la inducción:

• si $\frac{n3^n}{8^n} \le C\frac1{\sqrt n}$ entonces $$ \frac{(n+1)3^{n+1}}{8^{n+1}} = \frac{n3^n}{8^n} \times \frac 38\frac{n+1}n \le C\frac1{\sqrt n} \times \frac 38\frac{n+1}n \le C \frac1{\sqrt {n+1}} $$ La última desigualdad es cierta en cuanto: $$ C\frac 38 \left(\frac{n+1}n\right)^{3/2} \le 1 \\ \iff n\ge \frac 1{ \left(\frac 8{3C}\right)^{2/3} - 1} $$ que siempre es verdadera si $C$ es lo suficientemente grande.

• ahora elija $C$ por lo que la desigualdad es cierta para $n=1$ también. Y ya está.