¿Es ésta una definición correcta de una integral de línea?

Question

Esto viene del capítulo inicial sobre integrales de línea en el libro Mathematical Methods for Science Students:

Supongamos que $y=f(x)$ es una función continua monótona real de $x$ en algún intervalo $x_1<x<x_2$ . Entonces, si $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ son dos funciones continuas monovaluadas reales de $x$ y $y$ para todos los puntos de C, las integrales $$\int_C P(x,y)dx,\quad\int_C Q(x,y)dy$$ y, más frecuentemente, su suma $$\int_C \Bigg\{P(x,y)dx+Q(x,y)dy\Bigg\}$$ se denominan integrales curvilíneas o integrales de línea, siendo la trayectoria de integración C a lo largo de la curva $y = f(x)$ de A a B.

¿Es ésta una definición correcta de una integral de línea?

No parece que se parezca al wikipedia definición de una integral de línea sobre un campo escalar, que tiene sentido para mí:

Para algún campo escalar $f : U\subseteq R^n → R$ la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos $C \subset U$ se define como $$\int_C f ds = \int^b_af(r(t))|r'(t)|dt$$ donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C tal que r(a) y r(b) dan los puntos extremos de C y a

La función f se denomina integrando, la curva C es el dominio de integración y el símbolo ds puede interpretarse intuitivamente como una longitud de arco elemental. Las integrales de línea de campos escalares sobre una curva C no dependen de la parametrización r elegida de C.

Answer 1

La primera es una integral de línea sobre un campo vectorial (presentada de forma bastante horrible), definida como

$$\int_a^bF(r(t))\cdot r'(t) dt$$

$F$ representa la fórmula del campo, y $r$ representa el camino. Si escribimos $r$ como $(x(t),y(t))$ , entonces obtenemos que $r'(t)=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$

Si $F(x,y)$ representa la ecuación que define el campo vectorial, podemos escribirla en forma de componentes como $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ . así que $P$ define el $x$ -componente del campo vectorial en cada punto $(x,y)$ y $Q$ hace lo mismo para el $y$ -componente. Expandiendo el producto punto:

$$\int_a^b P(x,y)\frac{dx}{dt} dt + Q(x,y)\frac{dy}{dt} dt$$ $$\int_a^b P(x,y)dx + Q(x,y)dy$$

Da su versión. Es útil para determinar el trabajo realizado por una fuerza de "tipo campo" (un campo electromagnético, por ejemplo) sobre un objeto en movimiento.

La segunda es una integral de línea sobre un campo escalar. En realidad, se trata de la integral normal, pero ampliada para que pueda definirse sobre cualquier curva, y no sólo sobre la $x$ -en el caso de 2D, lo cual es bastante limitante.

Las llamamos integrales de línea (ya que integramos sobre una curva), pero una es sobre un campo vectorial y la otra es sobre un campo escalar, lo que lleva a definiciones diferentes.

Answer 2

Las dos "integrales de línea" a las que te refieres representan cosas completamente diferentes: Dejemos que $$\gamma:\quad t\mapsto {\bf z}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)\qquad(a\leq t\leq b)$$ sea una curva en el $(x,y)$ -Avión. Un gráfico $x\mapsto\bigl(x,f(x)\bigr)$ $\,(a\leq x\leq b)$ es un caso especial.

Cuando un campo de fuerza ${\bf F}(x,y):=\bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr)$ está dada entonces la integral $$W:=\int_\gamma {\bf F}\cdot d{\bf z}:=:=\int_a^b {\bf F}\bigl({\bf z}(t))\cdot\dot {\bf z}(t)\ dt\ ,$$ respectivamente, por componentes $$W:=\int_\gamma(P\,dx+Q\,dy):=\int_a^b\Bigl(P\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\dot x(t)+ Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\dot y(t)\Bigr)\,dt$$ denota una trabajo realizado cuando el campo de fuerza mueve un carro a lo largo de $\gamma$ contra la fricción.

Por otro lado, cuando un campo escalar $f(x,y)$ se da entonces la "integral de línea" $$H:=\int_\gamma f\ ds:=\int_a^b f\bigl({\bf z}(t)\bigr)\ |\dot z(t)|\ dt=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\dot x^2(t)+\dot y^2(t)}\ dt$$ denota una cantidad relacionada con la longitud del arco: Supongamos que $f(x,y)$ denota algún tipo de humedad en el punto $(x,y)$ . Entonces $H$ es esencialmente la cantidad total de fluido contenida en la rosca (física) $\gamma$ .

El punto esencial de la idea de una "integral de línea" es que los valores $W$ o $H$ sólo dependen (a) de ${\bf F}$ resp. $f$ y (b) en la curva $\gamma$ como "objeto geométrico", pero no en la parametrización elegida de $\gamma$ .