¿Cómo encontrar las clases de equivalencia en una relación?

Question

Supongamos que definimos la relación $∼$ por $v∼w$ (donde $v$ y $w$ son elementos arbitrarios en $R^n$ ) si existe una matriz $$A∈ GL_n(R)$$ tal que $v=Aw$ . ¿Cuáles son las clases de equivalencia para $∼$ ¿en este caso? NOTA: $GL_n(R)$ es un conjunto que contiene todos los $n×n$ matrices con $det≠0$

Answer 1

La relación funciona así: El vector cero sólo está en relación consigo mismo. Todos los demás vectores están en relación con los demás

Prueba: si $v=0$ entonces $Av=0$ para cada matriz y por lo tanto $0\sim w$ si y sólo si $w=0$ .

Ahora toma $v\not = 0$ y $w\not = 0$ . Afirmo que $v\sim w$ ya que $v\not = 0$ puedes encontrar $v_1,...,v_{n-1}$ tal que $\mathcal{B}_v:=\{v,v_1,...,v_{n-1}\}$ una base, de manera similar encontrar $w_1,...,w_{n-1}$ tal que $\mathcal{B}_w:=\{w,w_1,...,w_{n-1}\}$ es otra base.

Ahora se define una matriz por el siguiente mapa lineal : $$A(\lambda v + \lambda_1 v_1 +...+\lambda_{n-1} v_{n-1} ) := \lambda w+\lambda w_1 +...+\lambda w_{n-1}$$

(es decir $A$ es la única transformación lineal que envía una base a otra esto se suele denotar como $[I]^{\mathcal{B}_v}_{\mathcal{B}_w}$ )

En particular, se encuentra una matriz $A$ que es invertible (porque envía una base a sí misma), por lo que $\det A \not = 0$ tal que $Av=w$ . De ello se desprende que $v\sim w$ .

Answer 2

Dados cualesquiera vectores unitarios, existe una matriz de rotación no singular que lleva el primer vector al otro. Dado cualquier vector no nulo y no unitario, existe una matriz de escala no singular que lleva el vector a un vector unitario. Así que dados dos vectores arbitrarios no nulos $v$ y $w$ Hay $S_v$ y $S_w$ tal que $S_vv$ y $S_ww$ son vectores unitarios, y $R$ tal que $R(S_vv)=S_ww$ . Entonces $w=(S_w^{-1}RS_v)v$ . Así que tomando $A=S_w^{-1}RS_v$ tenemos que $v=Aw$ por lo que dado cualquier vector no nulo $v$ , $w$ , $v$ ~ $w$ el conjunto de vectores no nulos es una clase de equivalencia.

Answer 3

Una pista: Hay dos clases de equivalencia: $\{0\}$ y $\Bbb R^n\setminus \{0\}$ .