Al abordar estas cuestiones, resulta bastante útil definir sub - y supersoluciones . Dado un PIV $\dot x = f(x,t)$ , $x(0) = \xi$ , $(x,t) \in \mathbb{R}\times[0,\infty),$ una subsolución es una función diferenciable $y$ con $\dot y < f(y,t)$ y $y(0) \leq \xi$ . Entonces, para todos los $t$ , $y(t) < x(t)$ . Para una demostración y ejemplos, véase Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos (pdf), alrededor de la página $24$ . Si se invierten todas las desigualdades, $y$ se llama supersolución. La otra cosa a tener en cuenta es que las curvas solución no pueden cruzarse entre sí por el teorema de unicidad de Picard-Lindelöf.
Ahora bien, como $y = c$ es una supersolución para $c \in (0,1)$ y $x = 0$ es una solución, por lo que para $\xi \in (0,1)$ sabemos que $x(t) \in (0,1)$ para todos $t$ . Esto implica a su vez $\dot x < 0$ Por lo tanto $a := \lim_{t \rightarrow 0} x(t)$ existe. Suponiendo que $a \neq 0$ llegamos rápidamente a una contradicción: Suponiendo que para todo $t$ , $x(t) > a- \epsilon$ tenemos $\dot x(t) < -1$ para todos $t > t_0$ para algunos grandes $t_0$ , lo que implica $x(t_0+2 \epsilon) < a-\epsilon$ . Por lo tanto, $\lim_{t \rightarrow 0} x(t) = 0$ para $\xi \in [0,1)$ y la reclamación de $\xi = 1$ se deduce porque el flujo es continuo ya que la EDO es Lipschitz-continua.
La otra afirmación puede probarse considerando $y(t) = \frac{1}{\epsilon-t}$ . Tenemos $$\dot y(t) = \frac{1}{(\epsilon-t)^2} < \frac{1}{(\epsilon-t)^2}\left(\frac{1}{(\epsilon-t)^2} - e^{t^2}\right) = f(y,t),$$ si elegimos $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como para que $\frac{1}{(\epsilon-t)^2} > e^{t^2}$ para todos los positivos $t$ . Se trata de una subsolución que explota en tiempo finito, por lo que cualquier solución con $\xi > y(0) = \frac{1}{\epsilon^2} =: K$ también explotará en un tiempo finito.
