No entiendo una solución de inducción.

Question

Intenté resolver la siguiente pregunta de prueba de inducción antes de desistir y mirar la solución, sin embargo la solución tampoco me ayudó mucho.

Pregunta

Vuelve a demostrar la fórmula de la suma de una serie geométrica con primer término $a$ , ratio común $r \neq 1$ y $n$ por inducción en $n$ .

Solución

Dejemos que $P(n)$ sea la declaración " $a+ar+...+ar^{n-1}=\dfrac{a(r^n-1)}{(r-1)^n}. (r \neq 1, \in \mathbb{N})$ .

Paso básico: $a=\dfrac{a(r-1)}{(r-1)}$ Así que $P(1)$ es cierto.

Paso de inducción: Supongamos que $P(k)$ es cierto. Entonces

$(1): a+ar+...ar^{k-1}+ar^k =\dfrac{a(r^k-1)}{r-1}+ar^k$ (por hipótesis de inducción)

$ (2): =\dfrac{a((r^k-1)+r^k(r-1))}{r-1}$

$ (3):=\dfrac{a(r^{k+1}-1)}{r-1}.$

Así que $P(k+1)$ es verdadera. Por lo tanto, por inducción, $P(n)$ es cierto para todos los $n \in \mathbb{N}$ .

Problemas

$(i)$ Así que, en línea $(1)$ No entiendo por qué sólo $(r-1)$ está en el denominador cuando es $(r-1)^n$ en la declaración original. Suponía que al asumir $P(k)$ , sólo hay que cambiar todos los $n$ a $k$ ¿Por qué no es necesariamente cierto?

$(ii)$ ¿Cómo se pasa del paso $(2)$ al paso $(3)$ ? Parece bastante oscuro.

Gracias.

Answer 1

(i) Esto es sólo una errata, lo que se quiere decir y se utiliza más adelante es $$ \tag 1 P(n): \qquad \sum_{i=0}^{n-1} ar^i = a \frac{r^n- 1}{r-1} $$ (ii) Para pasar de (2) a (3), veamos el numerador de (2), tenemos $$ a\bigl(r^k - 1 + r^k(r-1)\bigr) = a(r^k - 1 +r^{k+1} - r^k) = a(r^{k+1} - 1) $$ por lo que $$ a\frac{r^k - 1 + r^k(r-1)}{r-1} = a\frac{r^{k+1} - 1}{r-1} $$