Demostrar que dos binomios son relativamente primos para todos los enteros positivos (euclidianos)

Question

Demostrar que $3x+11$ y $5x+18$ son relativamente primos para todos los enteros positivos $x$ .

Hola a todos He buscado mucho y he encontrado preguntas similares a esta aquí pero al probar algunos de los consejos siento que siempre que me acerco no coincide.

Según tengo entendido hay dos enfoques que puedo tomar para una estrategia de prueba y no consigo que funcionen (o estoy haciendo algo mal y no soy capaz de encontrar el siguiente paso lógico).

Por ejemplo, mediante el algoritmo euclidiano

Así que $3x+11$ y $5x+18$ son relativamente primos. Esto significa que no son tanto 0 como $$gcd((3x+11), (5x+18)) = 1$$

También dos enteros $a$ y $b$ son relativamente primos si y sólo si existen enteros $s$ y $t$ tal que $$as+bt = 1$$

Así que primero traté de dividir y no puedo llegar a una forma en la que obtenga este bonito 1 sentado solo al final.

$$5x+18 = (1) (3x+11) + (2x+7)$$ $$3x+11 = (1) (2x+7) + (x+4)$$ $$2x+7 = (1)(x+4)+(x+3)$$ $$x+4 = (1)(x+3)+1$$ $$x+3 = 1(1)+(x+2)$$ Por ese último paso creo que estoy perdido...

Otra solución común que estoy viendo y que no es de ayuda es que la gente simplemente diga bueno sabes que si $(3x+11)$ y $(5x+18)$ son relativamente primos entonces hay dos enteros s, t tales que $$as+bt =1$$ y sacan como $(3x+11)(5) + (-3)(5x+18) = 1 $ lo cual está muy bien, pero no tengo ni idea de cómo obtener esos dos números por algún método que no sea simplemente adivinar. Debe haber una forma que me estoy perdiendo o un paso fundamental en el Algoritmo Euclidiano o definiciones de Combinaciones Lineales que me estoy perdiendo.

Answer 1

Una forma sencilla de demostrar que estos números no son primos relativos es mostrar que la siguiente fracción es irriducible: $$\frac{5x+18}{3x+11}=1+\frac{2x+7}{3x+11}$$ Por lo tanto, $\,2x+7\,$ y $\,3x+11\,$ pueden ser coprimas si (si y sólo si) la siguiente fracción es reducible: $$\frac{3x+11}{2x+7}=1+\frac{x+4}{2x+7}.$$ Ahora para $\,x+4\,$ y $\,2x+7\,$ para ser coprimas esta fracción debe ser reducible: $$\frac{2x+7}{x+4}=1+\frac{x+3}{x+4}\,$$ Por lo tanto, si $\,x+3\,$ y $\,x+4\,$ son coprimas, entonces la siguiente fracción es reducible: $$\frac{x+4}{x+3}=1+\frac{1}{x+3}\,$$ Ahora, finalmente, llegamos a la siguiente fracción que también debe ser reducible $$\frac{1}{x+3}$$ pero no lo es. Por tanto, los números originales no son coprimas. Q.E.D.

Para que dos números sean coprimas, la fracción debe ser reducible, es decir, debe tener la forma $$\frac{xk}{xp}$$ donde algún número, digamos, $\,x\,$ es un factor común. Si no hay factor común, la fracción es irreducible y su numerador y denominador son coprimas. $$............$$ Hay incluso una forma más sencilla de hacerlo. $$\frac{15x+55}{15x+54}=1+\frac{1}{15x+54}$$ La fracción $$\frac{1}{15x+54}$$ es irreducible. Así que los números iniciales son coprimas porque es trivial demostrar que $\,15x+54\,$ no es divisible por $\,5\,$ pero divisible por $\,3,$ y $\,15x+55\,$ a la inversa, no es divisible por $\,3\,$ pero divisible por $\,5$ . En otras palabras, multiplicar un número por $\,5$ y el otro por $\,3$ no cambia la situación porque después sabemos que los números iniciales seguirán sin ser ambos (al mismo tiempo) divisibles por $\,5\,$ o por $\,3\,$ .