Es bien sabido que $\overline{M}_{0,5}$ el espacio de moduli de $5$ -curvas racionales puntuales, se puede realizar como la expansión de $\mathbb{P}^2$ en cuatro puntos generales. Por lo tanto, podemos interpretar $\overline{M}_{0,5}$ como la ampliación de una superficie cuádrica lisa $Q\subset\mathbb{P}^3$ en tres puntos generales.
Ahora dejemos que $Q\subset\mathbb{P}^n$ sea una hipersuperficie cuádrica lisa con $n\geq 4$ . ¿Existe una interpretación modular para una variedad obtenida mediante la expansión de un cierto número de puntos generales en $Q$ ?
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La dimensión del espacio de los automorfismos es $n(n+1)/2$ y la dimensión de $Q$ es $n-1$ por lo que la ampliación de $Q$ en $k$ puntos generales está bien definida si y sólo si $k \leq n(n+1)/2(n-1)$ . Se podría jugar con la toma de la mayor $k$ pero como el límite superior nunca es un número entero para $n>3$ esto podría no comportarse bien.
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Si se generaliza $P^1\times P^1$ a las dimensiones superiores de manera diferente, la respuesta será positiva. De hecho, $M_{0,n}$ se puede realizar como una ampliación de $(P^1)^{n-3}$ .