Isomorfismo entre módulos

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo con identidad y $e\in R$ es un idempotente. Es bien sabido que $Hom_R(R,M)$ es isomorfo a $M$ como derecho $R$ -para cualquier derecho $R$ -Módulo $M$ . ¿Es cierto que $Hom(eR,M)$ es isomorfo a $Me$ como derecho $eRe$ -¿Módulos? Si no es así, ¿es una condición como " $eR$ siendo un generador para la categoría de derecho $R$ -¿"Módulos" necesarios? Gracias a quien responda a mi pregunta.

Answer 1

Sí, es cierto: Tienes la descomposición $R = eR \oplus (1-e) R$ como derecho $R$ -y, por lo tanto, los módulos $$\text{Hom}_R(eR,M)\cong\text{ker}\left(\text{Hom}_R(R,M)\xrightarrow{\text{res}}\text{Hom}_R((1-e)R,M)\right)\stackrel{(\dagger)}{\cong}\text{ker}(M\xrightarrow{\cdot (1-e)} M) = Me,$$ Explícitamente, este mapa viene dado por $\varphi\mapsto\varphi(e)$ y por lo tanto derecho $eRe$ -lineal.

Anexo El isomorfismo $(\dagger)$ resulta del isomorfismo $\tau:\text{Hom}_R(R,M)\cong M, \varphi\mapsto\varphi(1)$ ya sabes junto con el hecho de que la restricción $\text{res}(\varphi)$ de un morfismo $\varphi: R\to M$ a $(1-e)R$ desaparece si y sólo si $0=\varphi(1-e) = \varphi(1)\cdot (1-e)$ - por lo tanto, $\tau$ restringe a $\text{ker}(\text{res})\cong \text{ker}(M\xrightarrow{\cdot (1-e)} M)$ .