¿Cuál es un ejemplo de una función en $L^1(0,1)$ pero no $L^p(0,1)$ para $p>1$ ?

Question

¿Cuál es un ejemplo de una función en $L^1(0,1)$ pero no $L^p(0,1)$ para $p>1$ ?

He visto esta respuesta pero esto es en un dominio infinito. Sólo me interesa $(0,1)$ . Intenté jugar con $\int_0^1 \frac{1}{x^a\log^b(x)}dx$ pero no he encontrado el éxito. Estaba tratando de pensar en alguna transformación de la respuesta dada al dominio $(0,1)$ pero puede ser un desastre.

Si es posible, preferiría una pista a una respuesta rotunda.

Answer 1

Definitivamente estás en el camino correcto: Yo consideraría algo como $$ f = \begin{cases} \frac{1}{x^a(\log x)^b} & \text{if}\ x \in (0,0.5) \\ 1 &\ \text{if}\ x \in [0.5,1) \end{cases} $$ para no tener que preocuparse por la integrabilidad en $1$ . Ahora sólo tienes que jugar con $a$ y $b$ .

Una opción que funciona es la siguiente:

$a = 1$ , $b = 2$ . Para una prueba se pueden consultar los cálculos de parte (c) en la respuesta que di a esta otra pregunta.