$|\cos(z)|\leq e^{|z|}$

Question

El problema es demostrar la desigualdad para todos $z \in \mathbb{C}$ $$|\cos(z)|\leq e^{|z|}$$

Mi intento:
Sabemos que $$|\cos(z)|=|\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}|\leq |\frac{e^{iz}}{2}|+ |\frac{e^{-iz}}{2}|$$ $$|e^{iz}|=|e^{i(x+iy)}|=|e^{(xi-y)}|=|\frac{e^{xi}}{e^y}|=\frac{1}{e^y}.$$ Por afirmación analógica podemos concluir $|e^{-iz}|=e^y.$
Así que podemos $$|\cos(z)|< |\frac{1}{2}[\frac{1}{e^y}| + |e^y|]$$ $$\frac{1}{2}[\frac{1}{e^y}| + |e^y|] \leq e^{\sqrt{x^2+y^2}}$$ Pero si pongo $x=0$ . Tengo problemas con esta desigualdad.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin {align}( \forall z \in\mathbb C): \bigl\lvert\cos (z) \bigr\rvert &= \left\lvert1 - \frac {z^2}{2!}+ \frac {z^4}{4!}- \frac {z^6}{6!}+ \cdots\right\rvert\\ & \leqslant1 + \frac { \lvert z \rvert ^2}{2!}+ \frac { \lvert z \rvert ^4}{4!}+ \frac { \lvert z \rvert ^6}{6!}+ \cdots\\ & \leqslant1 + \lvert z \rvert + \frac { \lvert z \rvert ^2}{2!}+ \frac { \lvert z \rvert ^3}{3!}+ \frac { \lvert z \rvert ^4}{4}+ \cdots\\ &=e^{ \lvert z \rvert }. \end {align}

Answer 2

Para cualquier $z = x + iy\in \mathbb{C}$ tenemos $$ |e^{z}| = |e^{x+iy}| = e^{x} \leq e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = e^{|z|} $$ así que $$ |\cos(z)| \leq \frac{1}{2} e^{|iz|} + \frac{1}{2} e^{|-iz|} = e^{|z|}. $$

Answer 3

Su intento

$$ |\cos(z)|< |\frac{1}{2}[\frac{1}{e^y}| + |e^y|] $$

no es del todo correcto: debería ser $\le$ en lugar de $<$ que resuelve su problema con $x=0$ . También hay que tener en cuenta que no es necesario tomar valores absolutos ya que todos los valores de la derecha son no negativos. Así que tenemos $$ |\cos(z)| \le \frac{1}{2} \left(e^{-y} + e^y\right) $$ y luego se puede seguir utilizando la monotonicidad de la función exponencial (real): $$ \frac{1}{2} \left(e^{-y} + e^y\right) \le \frac{1}{2} \left(e^{|y|} + e^{|y|}\right) = e^{|y|} \le e^{|z|} $$