Problema de representación matricial 2

Question

¿Puede alguien ayudarme a resolver este problema?

¿Y qué es el monomio Base, es sólo un polinomio de grado 2 o menos?

Y por ejemplo para calcular $L_{W_1 \leftarrow V_1}$ ,debería poner en primer lugar la Base de $V_1$ en $L$ y luego calcularlo con respecto a la Base de $W_1$ (que debería dar la propia matriz, como $W_1$ es la base estándar)?

Answer 1

De la lectura del problema creo que $\mathcal{P}_2$ denota el $\mathbb{R}$ -espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales de grado $\leq 2$ . Tomemos $p = a_2 X^2 +a_1 X +a_0$ en $\mathcal{P}_2$ . Entonces la base monomial $V_1$ es la familia $(X^0 =1, X, X^2)$ como puede ver $p$ es una combinación lineal de los elementos base.

Calculemos la representación matricial $L_{W_1 \leftarrow V_1}$ . Como usted ha dicho, tenemos que conectar la base $V_1$ en nuestro mapa dado, recordemos que basta con que un homomorfismo de espacios vectoriales se evalúe en los elementos de la base, por lo que

$L(X^0)= \begin{bmatrix} X^0(1) + 2 X^0(1) & 4({X^0})^{\prime}(0)\\ 3X^0(2) - ({X^0})^{\prime \prime}(0) & ({X^0})^{\prime \prime}(1)+ ({X^0})^{\prime}(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 &0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 &0 \end{bmatrix} = \\ =3 w_1 + 0 w_2 +3 w_3 + 0 w_4$

Así que la primera columna de nuestra matriz $L_{W_1 \leftarrow V_1}$ es sólo $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Espero que hayas entendido el concepto, el resto de los cálculos te los dejo a ti.