Es bien sabido que si $H$ es un espacio de Hilbert y $E$ es un subconjunto convexo cerrado no vacío de $H$ entonces hay un único elemento en $E$ de norma mínima, es decir, un elemento único $x_0\in E$ tal que $||x_0||=\min _{x\in E} ||x||$ . (cf. Rudin's Real and Complex Analysis, Theorem 4.10) Su demostración utiliza crucialmente la completitud de $H$ . Me pregunto si esto falla si $H$ no es completa, sino que está dotada de un producto interno.
Un contraejemplo cuando $H$ es una savia de Banach, está dada en Contraejemplos a un teorema del libro de Rudin sobre los elementos de menor norma en un conjunto convexo cerrado en un espacio de Hilbert . Pero en este contraejemplo, $C[0,1]$ no es un espacio de producto interno.
¿Existe un contraejemplo para un espacio de producto interno no completo?
