Un problema sobre el mayor factor primo de $n^2+1$

Question

Dejemos que $f(n)$ sea el mayor factor primo de $n$ . La imagen de la función $g(n)=\sqrt{f(n^2+1)}$ es así:

Pregunta: Si queremos dibujar una línea horizontal que biseca los puntos de $n=1$ a $n=x,$ esta línea está probablemente en qué posición cuando $x\to \infty$ ?

Lo primero que podemos encontrar en la imagen es que hay muchas líneas rectas aproximadas.

Entonces, ¿cuál es la pendiente de estas rectas?

Encuentro que la pendiente de la recta más inclinada es $1,$ por lo que la ecuación es $y=x.$ La segunda línea es $y=\dfrac{x}{\sqrt2},$ el tercero es $y=\dfrac{x}{\sqrt5},$ entonces $y=\dfrac{x}{\sqrt{10}},$ entonces $y=\dfrac{x}{\sqrt{13}}.$

$\dfrac{1}{\sqrt{m}}$ puede ser una pendiente si y sólo si $a^2+1\equiv 0\pmod m$ tiene solución entera.

De hecho, el punto $(n,\sqrt{f(n^2+1)})$ en $y=x$ significa $g(n)\approx n$ por lo que $n^2+1$ es primo. $y=\dfrac{x}{\sqrt2}$ significa $g(n)\approx \dfrac{n}{\sqrt2}$ por lo que $2\mid n^2+1$ y $\dfrac{n^2+1}{2}$ es primo $\dots$

Si hay infinidad de primos de la forma $n^2+1$ sigue siendo un problema abierto. Así que no podemos probar estas conclusiones, pero podemos estimarlas.

Answer 1

Lo que se intenta calcular es la mediana del mayor factor primo de $f(n)=n^2+1$ , donde $1\leq n\leq x$ . Esto será una función de $x$ que denotamos por $M_{n^2+1}(x)$ y esto crecerá hasta el infinito como $x$ crece hasta el infinito.

Para entender las cosas, vamos a dar un paso atrás y plantear una pregunta más sencilla:

¿Cuál es la mediana del mayor factor primo de los enteros $n$ en el rango $1\leq n\leq x$ ?

Denotemos esta función por $M(x)$ . Este La pregunta fue planteada en Math Overflow y he demostrado que tenemos la asintótica $$M(x)\sim e^{\frac{\gamma-1}{\sqrt{e}}}x^{\frac{1}{\sqrt{e}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ donde $\gamma$ es el Constante de Euler Mascheroni . Ver el artículo correspondiente en el arXiv para más detalles.

Entonces, ¿qué pasa con $n^2+1$ ? Parece que debe ser significativamente más difícil, ya que ahora estamos tratando con los factores primos de un polinomio, lo que suele aumentar la complejidad de un problema de forma significativa. Modificación de la sección $4$ de el papel Ya he mencionado que podemos relacionar el problema con $$\psi_{f}(x,y)=\left|\{n\leq x:\ P(f(n))\leq y\}\right|$$ cuando $f(n)=n^2+1$ , donde $P(n)$ denota el mayor factor primo de $n$ . Por desgracia, no se sabe demasiado sobre $\psi_f(x,y)$ cuando $f$ es un polinomio de grado $2$ o superior. El caso específico $f(n)=n^2+1$ ha sido examinada por Dartyge y Harman donde dan límites inferiores en el orden de magnitud para $u=\frac{\log x}{\log y}$ en un rango bastante pequeño. Sin embargo, para obtener una asintótica, necesitaríamos algo más fuerte: una asintótica precisa para $\psi_{n^2+1}(x,y)$ , donde $f(n)=n^2+1$ con un error de tamaño $\frac{x}{\log^2 x}$ . (Es decir, necesitamos saber el $\frac{x}{\log x}$ término también) Bajo una suposición importante, Martin demuestra que de hecho tenemos $$\psi_F(x,y)\sim x\rho\left(\frac{\log F(x)}{\log y}\right)$$ cuando $F$ es un polinomio irreducible, y donde $\rho$ es el Función rho de Dickman de Bruijn . ( $u=\frac{\log x}{\log y}$ estará en un rango acotado particular) Usando el resultado de Martin, y los métodos que mencioné anteriormente, podemos obtener que su cantidad es $$M_{n^2+1}(x)\approx x^{2/\sqrt{e}}.$$ Nótese que esto requiere asumir una versión de Hardy y Littlewood segunda conjetura .

Personalmente, no estoy del todo satisfecho sin una asintótica. Creo que el trabajo de Martin puede ser modificado para mostrar que $$\psi_F(x,y)=x\Lambda\left(F(x),y\right)+O_F\left(\frac{x}{\log^2 x}\right)$$ para $u=\frac{\log x}{\log y}$ en un determinado rango acotado, y donde $\Lambda(x,y)$ es una función que aparece en El documento original de de Bruijn sobre el tema. Utilizando la expansión para $\Lambda(x,y)$ que aparece en El documento de Eric Saias de 1989 podríamos recuperar la asíntota

$$M_{n^2+1}(x) \sim e^{\frac{\gamma-1}{\sqrt{e}}} x^{2/\sqrt{e}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$ que es muy similar a la ecuación $(1)$ arriba.

Además, creo que dado cualquier polinomio entero irreducible $F$ de grado $d$ tenemos que la mediana del mayor factor primo de $F(n)$ en el intervalo $[1,x]$ satisface la asíntota $$M_F(x)\sim e^{\frac{\gamma-1}{\sqrt{e}}} x^{d/\sqrt{e}}.\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

Bajo los supuestos del documento de Martin, el esquema anterior debería poder demostrar que la ecuación $(3)$ se mantiene cuando el grado es menor o igual a $2$ . Sin embargo, surgen problemas adicionales cuando $d\geq 3$ . En concreto, hay problemas en cuanto a la gama de $u$ que no he discutido tan a fondo arriba, y los límites anteriores que teníamos en $\psi_F(x,y)$ no están en un rango suficientemente grande de $u$ para que la prueba funcione.

Espero que eso responda a su pregunta, y que la ecuación $(2)$ es lo que está buscando.

Answer 2

Este es un código no optimizado

prim = Table[First[Last[FactorInteger[n^2 + 1]]], {n, 1, 100000}];   
ListPlot[Table[With[{temp = Sort[Take[prim, 2 k]]}, (temp[[k]] + temp[[k + 1]])/2], 
  {k, 2, 20000}]]

Eso nos lleva a la siguiente imagen. Yo diría que es demasiado irregular para predecir el comportamiento a largo plazo.

EDITAR -- Estaba multiplicando por 2, dos veces, lo que sesgó los valores. Aquí hay un código mejor.

prim = Table[First[Last[FactorInteger[n^2 + 1]]], {n, 1, 100000}];  
sortedprimes = {};   
vals = {};   
Monitor[
  Do[   
  addprime = Sort[{prim[[k - 1]], prim[[k]]}];
  sortedprimes = Sort[Join[sortedprimes, addprime]];
  newval = (sortedprimes[[k/2]] + sortedprimes[[k/2 + 1]])/2;
  vals = Append[vals, newval],
  {k, 2, 100000, 2}],
k]
ListPlot[Transpose[{Range[50000] 2, vals}]]

Da la siguiente imagen

Podemos intentar ajustar los datos de varias maneras. Ajuste a $A x + B x/log(x)$ no se estropeó inmediatamente cuando se añadieron más términos.

ListPlot[{#[[1]], #[[2]] - (25.1 #[[1]] - (185.1 #[[1]])/
   Log[#[[1]]])} & /@ Transpose[{Range[50000] 2, vals}]]

Que conduce a la imagen