Perturbación por $\varepsilon\mathbf 1$ en un álgebra de Banach.

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra de Banach, $G(A)$ denota el conjunto de todos los elementos invertibles en $A$ . Dejemos que $\mathbf 1$ sea el elemento de identidad de $A$ .

Supongamos que $x\in\partial G(A)$ . ¿Es cierto que para cualquier $r>0$ existe $\varepsilon\in\Bbb C$ tal que $|\varepsilon|<r$ y $ x+\varepsilon\mathbf 1\in G(A) $ ?

Sé que esto es cierto para $A=M_n(\Bbb C)$ y $G(A)=GL(n,\Bbb C)$ . La prueba se desprende de la discreción de las raíces de los polinomios característicos. No se me ocurre una prueba o un contraejemplo para casos de dimensión infinita.

Answer 1

Dejemos que $D\subset\mathbb{C}$ sea el disco unitario, y que $A=L^\infty(D)$ y que $x$ sea la función de identidad $x(z)=z$ . Tenga en cuenta que $x\in \partial G(A)$ ya que para cualquier $\epsilon>0$ si se define $x_\epsilon(z)=z$ si $|z|>\epsilon$ y $x_\epsilon(z)=\epsilon$ si $|z|\leq \epsilon$ entonces $\|x-x_\epsilon\|=2\epsilon$ y $x_\epsilon\in G(A)$ .

Sin embargo, si $|\epsilon|<1$ entonces $x+\epsilon\mathbf{1}\not\in G(A)$ ya que un inverso de $x+\epsilon\mathbf{1}$ tendría que ser ilimitado cerca de $z=-\epsilon$ .