Demostrar que el área de un cuadrado inscrito en la elipse $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ es igual a $\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$

Question

Tengo esta pregunta para una tarea de matemáticas

Demostrar que el área de un cuadrado inscrito en la elipse $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ es igual a $\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$

He intentado enfocar esta pregunta de la misma manera que lo haría con una identidad trigonométrica, pero no parece funcionar y la pregunta es diferente ya que no es trigonométrica, sino cónica.

¿Alguien sabe cómo enfocar esta cuestión? Lo estoy pasando mal y lo agradecería mucho. ¡Gracias!

Answer 1

La simetría implica que el centro del cuadrado está en el origen y los lados son paralelos a los ejes. El vértice de dicho cuadrado en el primer cuadrante estará situado en la recta $y=x$ y la elipse, por supuesto. Por lo tanto, $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2b^2$ y la inserción de $y=x$ y dividiendo, $$x^2 = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}.$$ Eso es una cuarta parte del área, así que el total es $4$ de esto.

Answer 2

Llamemos a $(p,q)$ el vértice del cuadrado entonces:

$$b^2p^2+a^2q^2=a^2b^2$$

La única manera es poner el cuadrado con los lados paralelos al eje de la elipse. Entonces el otro vértice será $(p,-q),(-p,q),(-p,-q)$ .

Así que los lados serán $2|p|=2|q|$ y el área será $4p^2=4q^2$ . Entonces

$$b^2p^2+a^2p^2=a^2b^2 \rightarrow p^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\rightarrow 4p^2=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$$

Answer 3

Los vértices del cuadrado tienen que estar en la elipse. Además, los vértices tienen que satisfacer, $x=y$ o $x=-y$ ya que es un cuadrado.

Es decir $x^2=y^2$ .

$$b^2x^2+a^2x^2=a^2b^2$$

$$x^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$$

Ahora, sólo tienes que encontrar la longitud del borde del cuadrado y cuadrarlos.