relaciones entre la prueba de la raíz y la prueba de la proporción

Question

relaciones entre la prueba de la raíz y la prueba de la proporción

Sé que el teorema es correcto si son existe $$ \lim\inf\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n} \leq \lim\inf\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} \leq \lim\sup\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} \leq \lim\sup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n} $$

$$ $$

Esta es la primera pregunta.

Si $$\lim\inf\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n} $$ y $$ \lim\sup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n} $$ son $\infty$

entonces, $$ \lim\inf\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} $$ y $$ \lim\sup\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} $$ son $\infty$ ?

$$ $$

$$ $$

Y la segunda pregunta es $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|A_{n+1}|}{|A_n|} = \infty $$ entonces $\lim_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} = \infty$

$$ $$

$$ $$

En realidad, la segunda pregunta parece fácil, pero aún no puedo probarlo.

¿Podría ayudarme, por favor?

Gracias

Answer 1

Ambas pruebas son para series con términos positivos; o debería poner valores absolutos alrededor de $A_n$ y $A_{n+1}$ en todas partes. De lo contrario, tendrás problemas para sacar las raíces. Y la división por $0$ está generalmente mal visto.

Suponiendo que todos los términos son positivos, es cierto que $$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n} \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} \leq \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n}$$ en el sentido ampliado: se permite que los límites tomen valor $+\infty$ . (Por cierto, esto es común con $\liminf $ y $\limsup$ de todos modos.

La prueba no es realmente diferente del caso finito. Aquí está la prueba de la primera desigualdad. Sea $b$ sea un número tal que $b< \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n} $ . Entonces tenemos $A_{n+1}>bA_n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Aplicando esto de forma iterativa, se obtendrá un límite inferior de la forma $A_n\ge C b^n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Esto implica $\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n} \ge b$ . Desde $b$ era un arbitrario número tal que $b< \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n} $ la conclusión $\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} (A_n)^{1/n}\ge \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n}$ sigue.

Obsérvese que es indiferente que estos límites sean finitos o no; el argumento funciona igual.