Encuentre información sobre la distancia del código

Question

Supongamos que tenemos un código cíclico binario $C$ de longitud $n \geq 3$ con polinomio generador $b(x) \neq 1$ , donde $n$ es el menor número natural tal que $b(X) \mid X^n-1$ . Quiero demostrar que la distancia mínima del código es al menos $3$ .

¿Cómo podemos obtener información sobre la distancia del código, aunque no tengamos una $n$ es decir, no tenemos la factorización en irreducibles de $X^n-1$ ?

Answer 1

Si $c(X)$ es una palabra clave cualquiera, entonces $b(X)\mid c(X)$ . Pero si $c(X)$ tiene un peso de dos, entonces $c(X)=X^a+X^b$ para algunos enteros $a,b$ , $0\le a<b<n$ . Así que $c(X)=X^a(X^{b-a}-1)$ . Esto significa que $$ \gcd(c(X),X^n-1)=\gcd(X^{b-a}-1,X^n-1)=X^{\gcd(b-a,n)}-1. $$ Combine esto con el hecho de que $b(X)\mid \gcd(c(X),X^n-1)$ .