¿Cómo puedo completar esta prueba por contradicción?

Question

Este problema es de la Matemática Discreta y sus Aplicaciones:

Demostrar que no hay soluciones en enteros $x$ $y$ a de la ecuación de $2x^2 + 5y^2 = 14$.

Estoy tratando de usar la prueba por contradicción, que es descrito por el libro como

Supongamos que queremos demostrar que una declaración de $p$ es cierto. Además, supongamos que podemos encontrar una contradicción $q$ tal que $\lnot p \implies q$ es cierto. Debido a $q$ es falso, sino $\lnot p \implies q$ es verdadero, podemos concluir que $\lnot p$ es false, lo que significa que $p$ es cierto. ¿Cómo podemos encontrar una contradicción $q$ que nos ayude a demostrar que $p$ que es verdad en este camino?

Debido a que la instrucción $r \land \lnot r$ es una contradicción siempre $r$ es una proposición, se puede demostrar que $p$ es verdadera si podemos demostrar que $\lnot p \implies (r \land \lnot r)$ es el caso de la proposición $r$. Las pruebas de este tipo se denominan pruebas por contradicción. Porque una prueba por contradicción no probar un resultado directamente, es otro tipo de prueba indirecta.

Aquí está mi trabajo/proceso de pensamiento:

Mi primera propuesta, $p$, es que no hay soluciones en enteros $x$ $y$ a de la ecuación de $2x^2 + 5y^2 = 14$. Sé que por la prueba por contradicción, tengo que asumir que la proposición no es verdadera, $\lnot p$, lo que significa que hay una solución a $x$ $y$ en la ecuación y demostrar que si se asume que esto conduce a una contradicción (algo que siempre se evalúa a falso, no importa los valores de entrada).

En primer lugar, he de reconocer que para que la suma sea, incluso, $14$, los dos componentes, $2x^2$ $5y^2$ aún así.

Yo soy capaz de demostrar que $2x^2$ es incluso a partir de la definición de, incluso, que es, hay algunos entero $k$ tal que $2x^2 = 2k$. $k$ sería $x^2$. Sin embargo tengo un tiempo difícil mostrar que $5y^2$ no se puede aún. Probé por primera vez la misma definición, significado $k = (5/2) y^2$ pero no es un entero. Sin embargo, es posible que $5y^2$ a ser, incluso, decir $y = 10$. Voy a hacer acerca de esto de la manera correcta? Es el hasta + incluso la justificación apropiada para esta situación?

Answer 1

Sí, una prueba por contradicción puede ser dado. Supongamos que usted ha encontrado un par de $(x,y)$ que satisface la ecuación.

Desde $14$ $2x^2$ son incluso, también se $5y^2$ debe ser así. Por lo tanto, $y$ es uniforme y por lo $y=2z$ para algunos entero $z$.

Esto implica $2x^2+20z^2=14$ que se simplifica a $x^2+10z^2=7$. Pero $10z^2>7$ si $z\ne0$, por lo que debemos tener $z=0$$x^2=7$, una contradicción.

---

Acerca de su argumento, no hay un glitch. Desde $14$ es incluso, dos enteros que se suma a $14$ son tanto o incluso a un extraño. Sin embargo, desde la $2x^2$ es claramente incluso, puedes llegar a la conclusión (como hice yo), de que también se $5y^2$ debe ser par.

Answer 2

SUGERENCIA: Usted tendrá un tiempo muy difícil demostrando de esta manera. Me recomiendan un enfoque diferente totalmente. Tenga en cuenta que $x^2$ $y^2$ son no negativos, por lo $2x^2$ $5y^2$ son en la mayoría de las $14$. Por lo tanto, si $y$ es un número entero, entonces $y$ debe ser uno de los tres números enteros, ¿qué son? Y ¿qué es lo que fuerza a$2x^2$?

Añadió: Y usted puede utilizar su observación de que $y$ debe ser, incluso, para reducir las posibilidades aún más.

Answer 3

De la rotonda de la prueba (no el que puedes usar :-) ):

$x^2 \equiv \{0,1,4,5,6,9\}\mod 10$

$\Rightarrow 2x^2 \equiv \{0,2,8,10,12,18\}\mod 20$

$y^2 \equiv \{0,1\}\mod 4$

$\Rightarrow 5y^2 \equiv \{0,5\}\mod 20$

$\Rightarrow 2x^2+5y^2 \equiv \{0,2,3,5,7,8,10,12,13,15,17,18\}\mod 20$

$\Rightarrow 2x^2+5y^2 \not\equiv 14\mod 20$

$\Rightarrow 2x^2+5y^2 \neq 14$

Answer 4

Si usted desea hacer su prueba de trabajo, la primera nota que $y = 0$ no es una opción porque entonces tendría $x^2 = 7$. Como usted señaló, $5y^2$ debe ser, por lo $y$ debe ser, por tanto, $y^2$ es de al menos 4. Esto le da una suma que es demasiado grande. (al menos 20 años cuando su destino es de 14)