Función analítica entre dos discos unitarios con $|g'(a)|\le1-|a|^2$

Question

Dejemos que $g$ sea una función analítica entre dos discos unitarios con $g(0)=a$ Cómo demostrar que $|g'(a)|\le1-|a|^2$ ?

Mi idea es utilizar el teorema de Schwarz. Y aplicando el teorema a $g\circ g(z)$ tenemos $|g'(a)g'(0)|\le\frac{1-|g\circ g(0)|^2}{1-|0|^2}=1-|g(a)|^2$ .así $|g'(a)|\le\frac{1-|g(a)|^2}{|g'(0)|}$ . No puedo ir más allá.

Answer 1

Esto es falso. Observando que $(1-1/n)^{n} \to e^{-1}$ como $n \to \infty$ podemos encontrar $n$ tal que $n(1-1/n)^{n-1}>4$ . Fijar un número entero de este tipo $n$ y que $a=1-\frac 1 n$ . Dejemos que $\phi(z)=\frac {z+a} {1+az}$ y $g(z)=\phi (z^{n})$ . Desde $g$ es una composición de dos mapas del disco unitario abierto hacia sí mismo $g$ también tiene esta propiedad. También $g(0)=\phi (0)=a$ . Ahora $g'(z)= \frac {(1+az^{n})nz^{n-1}-(z^{n}+a)naz^{n-1}} {(1+az^{n})^{2}}$ . Por lo tanto, $g'(a)= g'(z)= \frac {(1+a^{n+1})na^{n-1}-(a^{n}+a)na^{n}} {(1+a^{n+1})^{2}}$ . Esto da $g'(a)=\frac {na^{n-1}(1-a^{2})} {(1+a^{n+1})^{2}}$ Si $|g'(a)| \leq (1-a^{2})$ entonces obtenemos ${na^{n-1}}\leq (1+a^{n+1})^{2} \leq 2^{2}=4$ . Esto contradice la elección de $a$ .