Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado. Del cálculo, aprendí a pensar en la línea que pasa por dos puntos $p,q \in k^n$ como el lapso de $q-p$ más un vector de desplazamiento (ya sea $p$ o $q$ ). $$ L_{pq} = \{ p + \lambda(q-p) : \lambda \in k\} $$ Estoy tomando un curso de geometría algebraica, pero me confunde hablar de líneas en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$ (sobre $k$ ). Si tenemos dos puntos $x,y \in \mathbb{P}^n$ ¿hay alguna forma análoga de describir la línea que contiene $x,y$ ?
Por ejemplo, empecemos con una ecuación $x_0 + 2x_1 + 3x_2 = 0$ . Si $[x_0:x_1:x_2] \in \mathbb{P}^2$ se encuentra en esta línea, entonces sé que $$ x_2 = - \frac 23 x_1 - \frac 13 x_0 $$ por lo que las soluciones de esta ecuación deben ser el conjunto $$ \{[3x_0 : 3x_1 : -2x_1 - x_0] | x_0, x_1 \in k, \text{not both zero}\} $$ Sé que esta línea contiene los puntos $[3:0:-1]$ y $[0:3:-2]$ . ¿Hay alguna manera de escribir el conjunto de soluciones como una especie de "tramo" de estos puntos proyectivos? Si empezamos con estos dos puntos y no tenemos la ecuación lineal, ¿cómo podríamos reconstruir la ecuación lineal?
