Dada una partición $\lambda=(\lambda_1\geq\lambda_2\geq\dots)$ denotan el conjugar partición por $\lambda'=(\lambda_1'\geq\lambda_2'\geq\dots)$ . Por ejemplo, si $\lambda=(4,2,2)$ entonces $\lambda'=(3,3,1,1)$ .
La longitud del gancho de una célula $(i,j)$ en el diagrama de Young de $\lambda$ viene dada por $h(i,j)=\lambda_i+\lambda_j'-i-j+1$ . Definir el contenido simpático de la célula $(i,j)$ de $\lambda$ como $$c_{sp}(i,j)=\begin{cases} \lambda_i+\lambda_j-i-j+2 \qquad \text{if $ i>j $} \\ i+j-\lambda_i'-\lambda_j' \qquad \qquad \text{if $ i \leq j $}.\end{cases}$$ Propongo la siguiente afirmación para la que no tengo pruebas. ¿Alguna idea?
Reclamación. Dejemos que $\lambda\vdash n$ significa $\lambda$ es una partición de $n$ . Entonces, existe una función generadora $$\sum_{n\geq0}x^n\sum_{\lambda\vdash n}\prod_{\square\in\lambda}\frac{c_{sp}^2(\square)}{h^2(\square)}= \prod_{j\geq1}\frac1{1-x^{4j-2}}.$$
Si se demuestra, esto trae una consecuencia interesante. ¿Prueba?
Corolario. Dejemos que $P_{odd}(n)$ denotan el número de particiones de $n$ en partes de impar. Entonces, $$P_{odd}(n)=\sum_{\lambda\vdash 2n}\left(\prod_{\square\in\lambda}\frac{c_{sp}(\square)}{h(\square)}\right)^2$$ donde $\lambda\vdash 2n$ recorre todas las particiones ordinarias (no restringidas) de $2n$ .
Advertencia. Esta no es una forma eficiente de calcular dichas particiones.
