Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito y que $\tau$ ser un $T_0$ -topología en $X$ . Hace $\tau$ contienen un $T_0$ -topología que es mínima con respecto a $\subseteq$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El ejemplo de Larson en el artículo citado por Tomek Kania y su verificación son lo suficientemente sencillos como para que merezca la pena exponerlos aquí (de forma muy ligeramente modificada) para facilitar su consulta.
Dejemos que $\tau$ sea la topología cofinita sobre un conjunto incontable $X$ , dejemos que $\tau_0\subseteq\tau$ ser un $T_0$ topología en $X$ y que $\tau_0^*=\tau_0\setminus\{\varnothing\}$ . Para cada $U\in\tau_0^*$ dejar $\tau_U=\{W\in\tau_0:U\subseteq W\text{ or }W\subseteq U\}$ claramente $\tau_U$ es un $T_0$ topología en $X$ . Si $\tau_0$ es mínimo $T_0$ entonces $\tau_U=\tau_0$ para cada $U\in\tau_0^*$ y $\langle\tau_0^*,\subseteq\rangle$ es una cadena. Pero entonces $\langle\{X\setminus U:U\in\tau_0^*\},\subseteq\rangle$ es una cadena incontable de conjuntos finitos, lo cual es absurdo. Por lo tanto, $\tau$ no contiene un mínimo de $T_0$ topología.
Ralph Shillington
Puntos
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No necesariamente. Véase
K.-H. Pahk, Nota sobre las caracterizaciones de mínimos $T_0$ y $T_D$ espacios, Kyungpook Math. J. 8 (1968), 5-10.
y
R.E. Larson, Mínimo $T_0$ -y los espacios máximos $T_D$ -espacios , Pacific J. Math. 31 (1969), 451-458.
