Demuestra que esta función es una función lineal continua y encuentra su norma

Question

Demuestre que esta función es una función lineal continua en $C[-1,1]$ y encontrar su norma.

$\int_0^1 tx(t)dt-x(1)$

Lo que tengo hasta ahora:

1) Creo que he demostrado la linealidad cambiando $x$ a $(x+y)$ y conseguir $F(x)+F(y)$ como resultado y cambiando $x$ a $(dx)$ lo que lleva a $d*F(x)$ . ¿Pero es correcto?

Y no sé qué hacer más con la continuidad y la norma. Lo traduje de otro idioma para poder cometer un error de término.

Answer 1

La linealidad se deduce de la linealidad de la integral y de la evaluación $ x \mapsto x(1)$ .

Debe quedar claro que $|f(x)| \le \int_0^1 t \|x\| dt + \|x\| = {3 \over 2} \|x\|$ .

Si pudiéramos establecer $x(t) = 1$ para $t \in [0,1)$ y $x(1) = -1$ entonces está claro que $|f(x)|={3 \over 2}\|x\|$ pero necesitamos $x$ para ser continua.

Entonces, vemos si una aproximación funciona y dejamos que $x_n(t) = 1$ para $x \in [-1,1-{1 \over n}]$ y $x_n(t) = 1-2n(t-(1-{1 \over n}))$ de lo contrario y un poco de trabajo demuestra que $\lim_n |f(x_n)| = {3 \over 2}$ (y, por supuesto, $\|x_n\| = 1$ ). Por lo tanto, $\|f\| = {3 \over 2}$ .