El soporte de una gavilla no es necesariamente cerrado

Question

Esto es una paráfrasis de un ejercicio de Hartshorne:

Dejemos que $\mathcal{F}$ sea una gavilla en $X$ y para un punto $P\in X$ dejar $\mathcal{F}_P$ denotan el tallo de $\mathcal{F}$ en $P$ . Definimos el soporte de la gavilla $\mathcal{F}$ , denotado como $\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ , para ser $\{P\in X \mid \mathcal{F}_P \neq 0\}$ . Demostrar que $\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ no es necesariamente cerrado.

Esto se señala para contrastar con el hecho de que el soporte de una sección definida sobre un abierto es cerrado . Creo que tengo un ejemplo en mente para demostrar que $\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ no está cerrado, de lo cual he escrito los detalles en una respuesta más abajo. ¿Podría alguien comprobar que mi ejemplo funciona?

Yo también agradecería ver ejemplos más bonitos, y además me imagino que hay un ejemplo canónico que no conozco?

Answer 1

El ejemplo más común es la gavilla $j_!\mathbb{Z}$ . Aquí $j:U\rightarrow X$ es la inclusión de un conjunto abierto, y $j_!:\operatorname{Sh}(U,\mathbb{Z})\rightarrow \operatorname{Sh}(X,\mathbb{Z})$ es el functor tal que $j_!\mathcal{F}$ es la gavilla asociada a la preforma $$V\mapsto\left\{\begin{array}{ll} \mathcal{F}(V) & \text{if $ V \subset U $}\\ 0 &\text{ otherwise}\end{array}\right. $$ La gavilla $j_!\mathcal{F}$ tiene la bonita propiedad de que $(j_!\mathcal{F})_x=\mathcal{F}_x$ si $x\in U$ y $(j_!\mathcal{F})_x=0$ por lo demás. De ello se desprende que el apoyo de $j_!\mathbb{Z}$ es simplemente $U$ que está abierto.

¡Este ejemplo también muestra que hay gavillas con soporte no cerrado en cualquier espacio no discreto !

Answer 2

Dejemos que $X$ sea un espacio dotado de una topología de conjuntos abiertos anidados $\{U_i\}_{i \in \mathbf{N}}$ que se extiende hasta un punto $Q$ . Así que tenemos $X = U_0 \supset U_1 \supset U_2 \supset \dotsb\; $ y $\bigcap U_i = \{Q\}$ . Definir la gavilla $\mathcal{F}$ en $X$ tal que $\mathcal{F}(U_i) \cong \bigoplus_{\mathbf{N}}\mathbf{Z}$ para cada $U_i$ y tal que los mapas de restricción están dados por proyecciones que dejan caer las primeras componentes graduadas de la suma directa. Por ejemplo, la restricción $\mathcal{F}(U_0) \to \mathcal{F}(U_{1})$ parece

$$\begin{align} \mathbf{Z} \oplus \mathbf{Z} \oplus \mathbf{Z} \oplus \dotsb \; &\to \; \mathbf{Z} \oplus \mathbf{Z} \oplus \dotsb \\ (z_0, z_1, z_2, \dotsc) \; &\mapsto \; (z_1, z_2, \dotsc)\,. \end{align}$$

En general, entonces, el mapa de restricción $\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{F}(U_j)$ deja caer la primera $j-i$ componentes graduados de $\mathcal{F}(U_i)$ .

La idea es que, como las sumas directas sólo tienen un número finito de componentes distintos de cero, cualquier sección $s \in \mathcal{F}(U_i)$ debe asignarse eventualmente a $0 \in \mathcal{F}(U_j)$ para algunos $j>i$ . Así que $\mathcal{F}_Q = 0$ pero para cualquier otro punto $P\neq Q$ , $\mathcal{F}_P = \bigcap_{U_i \ni P} = U_j$ para algunos $j$ (es el $j$ correspondiente al "más pequeño" $U_j$ que contiene $P$ ), y $U_j \neq 0$ . Así que $\operatorname{Supp}\mathcal{F} = X \setminus \{P\}$ que no está cerrado.