Existe una clasificación de los aislados esencial singularidades?

Question

En el hilo de ¿por Qué clasificamos todos los demás (iso.) singularidades como "esencial"?, aquí está una de las preguntas que se le pidió:

No tenemos cuidado esencial de las singularidades a clasificar más de ellos?

La aceptación de respuesta para esta pregunta se refiere a esto de la siguiente manera:

Así que todas las singularidades esenciales tienen algunas cosas en común, pero por otro lado esto no nos debe llevar a creer que todos son iguales. Lo que tienen en común es complicado comportamiento, pero puede ser complicado de maneras muy diferentes! De hecho, las distintas trascendental de toda funciones (aquellas que tienen una singularidad esencial en el infinito; es decir, no son polinomios) puede variar mucho con respecto a su comportamiento cerca de infinito. Así por ejemplo, para algunas funciones, tales como $z\mapsto e^z$, existen curvas tiende a infinito en el que la función está acotada, mientras que para otros, este no es el caso.

Veo que esencial singularidades pueden ser muy diferentes, pero tal vez no puede todavía ser una clasificación. Aquí es cómo iba a estado a mi pregunta:

Si decimos que las funciones de haber aislado singularidad esencial en a $0$ son equivalentes cuando se diferencian por la multiplicación por un no-desaparición de holomorphic función, hay un buen o un conjunto fundamental de los representantes de esta relación de equivalencia?

Más formalmente:

Deje $\mathcal{S}$ ("singularidad") el conjunto de gérmenes de funciones en $0$ que son holomorphic excepto para un caso aislado singularidad esencial en a $0$; en otras palabras, vamos a $\mathcal{S}$ ser el cociente de $$\left\{(f,U)\,\media\vert\, \begin{array}{c} U\subseteq\mathbb{C}\text{ is a neighborhood of }0,\\ f\colon U\to \widehat{\mathbb{C}}\text{ is holomorphic on }U\setminus\{0\},\\ f\text{ has an essential singularity at }0\end{array}\right\}$$ por la habitual relación de equivalencia para los gérmenes.

Deje $\mathcal{I}$ ("invertible") el conjunto de los gérmenes de holomorphic funciones en $0$ que no son de fuga en un barrio de $0$; por lo tanto, para cualquier $[f]\in \mathcal{I}$, también tenemos $[1/f]\in\mathcal{I}$. La multiplicación de los gérmenes en un punto está bien definido, por lo que tenemos un mapa de $\mathcal{I}\times\mathcal{S}\to\mathcal{S}$; de hecho, es un grupo de acción.

Hay un buen o un conjunto fundamental de los representantes de las órbitas de esta acción?

Muy ingenuamente, yo podría adivinar que un conjunto de representantes está dado por $e^{1/f}$ de holomorphic funciones de $f$ de fuga en $0$, junto con cualquier función que se obtiene de estos repetidos composición con $e^z$ (así, por ejemplo, $e^{e^{1/z}}$), pero no sé cómo iba a ir sobre la determinación de si esto es correcto.

P. S. estoy bastante débil con el análisis complejo; explicaciones asumiendo poco de conocimiento de fondo sería muy bienvenido.

Answer 1

El problema con el cociente por la multiplicación por invertible funciones es que apenas hace mella en el tamaño del espacio. El cociente sigue siendo demasiado grande para admitir cualquier conjunto explícito de representantes (en contraste con el caso de los polos, que se representa por $\{z^{-n}:n\ge 1\}$). Por ejemplo, una función puede tener cualquier número de valores asintóticos, a la que se tiende a lo largo de varias curvas complicadas de terminar en la singularidad esencial. Esta estructura se mantiene intacta por el cociente. Por otro lado, tomando el cociente perdemos la estructura de espacio vectorial.

Una mejor manera de tomar un cociente de singular gérmenes es aditiva: hasta adición de un holomorphic función en un barrio de $0$. A continuación, las órbitas tienen un bonito conjunto de representantes: a saber, las funciones de holomorphic en $\widehat{\mathbb C}\setminus \{0\}$ y de fuga en $\infty$. De hecho, cualquier función de holomorphic en $\{z:0<|z|<r\}$ puede ser ampliado a Laurent serie $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n z^n$; tenemos un representante, manteniendo sólo los términos con $n<0$.

Habiendo tomado el cociente en el párrafo anterior, podemos sustituir de $z$$1/z$, poniendo de clases de equivalencia de singularidades esenciales en bijection trascendental de toda funciones de fuga en $0$. La "fuga en $0$" es más de una distracción, de los cuales podemos deshacernos dividiendo por $z$. Entonces, la pregunta es: ¿cómo clasificar trascendental de toda funciones? Dada la existencia de varias monografías sobre el tema de la totalidad de funciones, que no puede tener mucha esperanza para un exhaustivo estructura teorema.

Aunque la factorización de Weierstrass teorema nos permite escribir $f$ como un determinado producto, este producto implica $e^g$ donde $g$ es sólo otra función. La factorización funciona mucho mejor cuando se $f$ tiene orden finito porque $g$ se convierte en un polinomio, entonces (Hadamard factorización). De esta manera, obtenemos una clasificación de la totalidad de las funciones de orden finito, y - volviendo a la formulación original de singularidades esenciales en $0$ tal que $$\limsup_{r\to 0}\frac{1}{\log (1/r)}\log\log \sup_{|z|\ge r} |f(z)|<\infty \tag1$$ Cada una de estas singularidad es esencialmente descrito por un polinomio y una secuencia de números complejos convergentes a $0$.