¿Cuál es el valor de $\lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{n^2+1}\left[\frac{n^2+1}{n+1}\right]$

Question

Disculpen que escriba mal los símbolos matemáticos, no sé escribir símbolos. El $[ ]$ son para la función de suelo donde $[3.2]=3$ y $[2.9]=2$ .

Tengo problemas para calcular este límite, sé que la función suelo se calcula sobre todo separándola a dos casos, donde n es impar o par, pero no puedo ir más allá con esta. ¿Algún consejo?

Answer 1

Para el término de la función suelo:

$$\left[\frac{n^2+1}{n+1}\right]=\left[\frac{n^2-1+2}{n+1}\right]=n-1+\left[\frac{2}{n+1}\right]$$

Para un tamaño suficientemente grande $n$ , $\left[\dfrac{2}{n+1}\right]=0$ .

Answer 2

Tenemos que

$$\frac{n^2+1}{n+1} = \frac{n^2+n-n+1}{n+1}=n-\frac{n-1}{n+1} \implies \left[\frac{n^2+1}{n+1}\right]=n-1$$

Answer 3

Yo habría abordado el problema de forma diferente, absteniéndome de la mayoría de las matemáticas en favor de la intuición. Dejemos que $\lfloor A \rfloor$ denotan el suelo de $A$ .

Me parece inmediato que como $A \to \infty$ la relación
$[E_1] \frac{\lfloor A\rfloor}{A}$ debe ir a $1$ .

Editar por comentario posterior
$E_1$ se mantiene, ya que $A-1 < \lfloor A \rfloor \leq A.$
Por lo tanto, $\frac{A-1}{A} < \frac{\lfloor A\rfloor}{A} \leq \frac{A}{A} = 1.$

Como $n \to \infty,$ el valor
$\frac{n^2 + 1}{n+1}$ claramente va a $\infty.$

Editar por comentario posterior
Por lo tanto, sobre la base de $E_1$ , como $n \to \infty$ , $\displaystyle \frac{\lfloor \frac{n^2 + 1}{n+1} \rfloor}{\frac{n^2 + 1}{n+1}}$ claramente va a $1$ .

Como la fracción anterior va a $1$ , como $n \to \infty$ El numerador de la fracción anterior puede ser sustituido por el denominador.

Una vez que este sustitución la expresión en el título de la consulta de la OP es exactamente igual a 1. Nótese que la consulta del PO se preocupa de evaluar el límite como $n \to \infty.$ Según el análisis anterior, cuando $n \to \infty,$ la correspondiente sustitución es válido.

Answer 4

También podemos utilizar el teorema del apretón

$$ \lim_{n\to\infty}{\frac{n+1}{n^{2}+1}\left(\frac{n^{2}+1}{n+1}-1\right)}\leq\lim_{n\to\infty}{\frac{n+1}{n^{2}+1}\left[\frac{n^{2}+1}{n+1}\right]}\leq\lim_{n\to\infty}{\frac{n+1}{n^{2}+1}\frac{n^{2}+1}{n+1}} $$

Los términos más a la izquierda y a la derecha se aproximan $1$ como $n$ va al infinito, entonces el término medio también lo hace