Considere una matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. ¿Es posible definir un operador $\phi(i,j)$ el cual, al aplicarse a la matriz $A$, elimine el elemento $ij$-ésimo, de manera que $[ \phi(i,j) A ]_{i,j} = 0$?
De ser así, ¿es posible definir este operador en términos del producto de matrices estándar o del producto de Kronecker? De lo contrario, ¿existe una demostración de que dicho operador no existe?
Estás buscando algún $F$ tal que $e_i^T FA e_j = 0$ para todo $A$ y, para $(k,l) \neq (i,j)$, $e_k^T FA e_l = e_k^T A e_l$ para todo $A$.
Dado que $A$ es arbitrario, tenemos que $e_i^T Fx = 0$ para todo $x$ y así $e_i^T F = 0$.
Elige $l \neq j$ y deja $A=e_i e_l^T$, entonces $e_i^TFAe_l = e_i^TFe_i = 0$, pero también requerimos que $e_i^TFAe_l = e_i^TAe_l = 1$.
Por lo tanto, no es posible un $F$ así.
@RodrigodeAzevedo: Arreglé la respuesta. La prueba es muy fea para un resultado tan intuitivo.
Uno podría usar el operador lineal (similar a una proyección) $\Phi_{ij} : \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R^{n \times n}$ definido por
$$\Phi_{ij} ({\rm X}) := {\rm X} - {\rm e}_i^{\,} {\rm e}_i^\top {\rm X} \, {\rm e}_j^{\,} {\rm e}_j^\top$$
donde ${\rm e}_i$ y ${\rm e}_j$ son los vectores $i$-ésimo y $j$-ésimo de la base estándar, respectivamente.
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No es posible con un producto de matrices estándar. Si hubiera algún $B$ tal que $BA$ eliminara una entrada fuera de la diagonal especificada de $A$, entonces para encontrar $B$, simplemente sustituye $A = I$. Eliminar una entrada fuera de la diagonal de $I$ produce $I$, por lo que $I$ debería ser lo mismo que $BI$, es decir, $B$. Pero la operación aquí no es la operación de identidad (hace algunos cambios), por lo tanto no podemos tener $B = I$, una contradicción. Del mismo modo, multiplicar por la izquierda tampoco funcionará, es decir, $A \mapsto AB. ¡Intenta pensar en qué sucede cuando anulas una entrada en la diagonal! Pista: aún así no funcionará.