Utilizando el libro Quantum Theory for Mathematicians de B.C. Hall, he encontrado una cadena de ejercicios que te llevarán a una demostración.
(1) Que $A$ un operador acotado autoadjunto en $\mathcal{H}$ y que $V \subseteq \mathcal{H}$ un $A$ -invariante del subespacio vectorial cerrado, es decir $A V \subseteq V$ . Denotemos el espectro de un operador $B$ por $\sigma(B)$ . Entonces $\sigma(A|_V) \subseteq \sigma(A)$ .
Sugerencia: Puedes utilizar el siguiente teorema (que puedes demostrar si quieres o tomas): $\lambda \in \sigma(A)$ si existe una secuencia $\psi_n$ de vectores no nulos en $\mathcal{H}$ s.t. $$\lim_{n\to\infty} \frac{\|A\psi_n - \lambda \psi_n \|}{\|\psi_n\|} = 0.$$
(2) Si $f$ es una función acotada y medible en $\sigma(A)$ entonces $f(A|_V) = f(A)|_V$ donde utilizamos el cálculo funcional para $A|_V$ y $A$ resp.
(3) Supongamos $\psi \in \mathcal{H}$ y $A \psi = \lambda \psi$ para algunos $\lambda \in \mathbb{C}$ . Entonces, para cualquier función acotada medible sobre $\sigma(A)$ $f$ , $f(A)\psi = f(\lambda)\psi$ . (Utilice (2))
De (3) se deduce fácilmente su respuesta.
Edición: Aquí están las pruebas.
Prueba de (1): Sea $\lambda \in \sigma(A|_V)$ . Entonces hay alguna secuencia $\psi_n$ de vectores no nulos en $V$ s.t. $\frac{\|A|_V\psi_n - \lambda \psi_n\|}{\|\psi_n\|} \to 0$ . Pero entonces la secuencia también está en $\mathcal{H}$ Así que $\lambda \in \sigma(A)$ .
Prueba de (2): Obsérvese que los dos lados coinciden claramente en los polinomios. Tomando límites uniformes obtenemos que las dos partes coinciden en funciones continuas. Denotemos $\mathcal{F} := \{f \text{ bounded, measurable functions on } \sigma(A) \mid f(A|_V) = f(A)|_V\}$ . Tenga en cuenta que si $f, g \in \mathcal{F}$ y $c \in \mathbb{C}$ entonces $(f+cg)(A|_V) = f(A|_V) + cg(A|_V) = f(A)|_V + cg(A)|_V = (f+cg)(A)|_V$ . Así que $\mathcal{F}$ es un espacio vectorial complejo. Por un resultado estándar en la teoría de la medida, si un conjunto $\mathcal{F}$ de funciones medibles acotadas en un espacio métrico compacto es (1) un espacio métrico complejo, (2) contiene el continuo $\mathbb{R}$ -y (3) está cerrada bajo límites puntuales de secuencias uniformemente acotadas (es decir, dominadas por una constante en el caso de convergencia dominada). Entonces $\mathcal{F}$ es el conjunto de funciones medibles acotadas. (Por ejemplo, B.C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Ex. 8.3). Así pues, basta con demostrar que $\mathcal{F}$ es cerrado bajo límites puntuales uniformemente acotados. Pero esto se deduce directamente: dejemos que $f_n$ una secuencia uniformemente acotada s.t. $f_n \to f$ en el sentido de la palabra. Entonces $f(A|_V)$ es el único operador s.t. $$\forall \psi \in V: ( \int f d\mu^{A|_V} \psi, \psi) = \int f d\mu^{A|_V}_\psi$$ donde $\mu^{A|_V}_\psi(E) = (\mu^{A|_V}(E) \psi,\psi)$ . Entonces, como $\mu^{A|_V}_\psi$ es finito, las constantes son integrables, por lo que la convergencia dominada da que $$(f(A|_V)\psi, \psi) = \int f d\mu^{A|_V}_\psi = \lim \int f_n d\mu^{A|_V}_\psi = \lim (\int f_n d\mu^{A|_V} \psi, \psi) = \lim (f_n(A|_V)\psi,\psi)$$ $$= \lim (f_n(A)|_V \psi, \psi) = \lim (f_n(A) \psi, \psi) = \lim \int f_n d\mu^A_\psi = \int f d\mu^A_\psi = (f(A)|_V \psi, \psi).$$
Prueba de (3): Sea $V:= \mathbb{C}\psi$ . Tenga en cuenta que $V$ es un subespacio vectorial cerrado y que $A(c \psi) = c A \psi = \lambda c \psi \in V$ Así que $V$ es $A$ invariante y también hay que tener en cuenta que $A|_V = \lambda I$ , donde $I$ es el operador de identidad. Así que podemos aplicar (2), dando $f(A) \psi = f(A)|_V \psi = f(A|_V)\psi = f(\lambda I) \psi$ . Ahora sólo tenemos que demostrar que $f(\lambda I) = f(\lambda)I$ para cualquier medida acotada $f$ . Utilizaremos la misma técnica de demostración que en la demostración de (2). Esto se cumple claramente para los polinomios y, por tanto, para las funciones continuas, tomando límites uniformes. El cálculo directo verifica que el conjunto de soluciones forma un espacio vectorial complejo. Así que sólo tenemos que demostrar el cierre bajo límites puntuales de la secuencia uniformemente acotada. Sea $f_n$ alguna secuencia de este tipo. Entonces: $$(f(\lambda I) \psi , \psi) = \int f d\mu^{\lambda I}_\psi = \lim \int f_n d\mu^{\lambda I}_\psi = \lim (f_n(\lambda I) \psi, \psi) = \lim (f_n(\lambda)I \psi, \psi)$$ $$= (\psi, \psi) \lim f_n(\lambda) = (\psi, \psi) f(\lambda) = (f(\lambda) I \psi, \psi).$$ Así que la unicidad da la propiedad de cierre deseada.
(3) $\implies$ vectores propios contenidos en el subespacio espectral: Sea $\psi$ un vector propio con valor propio $\lambda$ . Por (3), $1_{\{\lambda\}}(A)\psi = 1_{\{\lambda\}}(\lambda) \psi = \psi$ . entonces desde $1_{\{\lambda\}}(A)$ es la proyección ortogonal sobre el subespacio espectral correspondiente a $\{\lambda\}$ , $V_{\{\lambda\}}$ , $1_{\{\lambda\}}(A) \psi = \psi \implies \psi \in V_{\{\lambda\}}$ .
