La construcción de uno de los formularios en una superficie de Riemann mediante el teorema de uniformización

Question

He encontrado esta declaración acerca de la prueba de la existencia de uno de los formularios en una superficie de Riemann en una respuesta en MathOverflow:

Esta profunda realidad es esencialmente el mismo que el teorema de uniformización. El problema es cómo construir al menos una holomorphic o meromorphic formulario con recetados de la singularidad. Es de todos conocido las pruebas de uso algunos Análisis, y ninguno de ellos es simple. Una vez que usted tiene Uniformización, es fácil construir holomorphic formas.

¿Por qué es así de fácil? Uniformización nos dice que cualquier superficie de Riemann tiene una cobertura universal que es $\mathbb D$, $\mathbb C$, o $\mathbb P^1$. Es fácil transferir las formas de la base del espacio de la cubierta del espacio tirando hacia atrás. Pero, ¿cómo podemos utilizar la cobertura del mapa para construir formas prescritas singularidades de la base del espacio?

Answer 1

Tenga en cuenta que la cita no hablar de uno-formas, solo se trata de formas. Concentrarse en la hiperbólica caso, si la superficie es $\mathbb{D}/\Gamma$ donde $\Gamma$ es un grupo de transformaciones de Möbius que actúa libremente y correctamente de forma discontinua en $\mathbb{D}$, entonces es fácil mostrar que $\sum_{\gamma \in \Gamma} |\gamma'(z)|^2$ converge localmente uniformemente en $\mathbb{D}$ (esencialmente porque el $\mathbb{D}$ ha finito Euclidiana). A continuación, la función $$ F(z) = \sum_{\gamma\en\Gamma} \frac{\gamma'(z)^2}{\gamma(z)} $$ es meromorphic en $\mathbb{D}$ y satisface $F(\gamma(z)) \gamma'(z)^2 = F(z)$ todos los $z \in \mathbb{D}$$\gamma \in \Gamma$. Además, es simple de polos en el $\Gamma$-órbita de $0$. Esto demuestra que $F$ define un meromorphic cuadrática diferencial de la forma en $\mathbb{D}/\Gamma$ con una singularidad.

Ahora es fácil de modificar esta construcción para mover la singularidad a cualquier otro punto, y un cociente de dos diferenciales cuadráticas con singularidades en diferentes puntos le darán un no-constante de la función de meromorphic.