Uso del teorema de la identidad para demostrar la existencia de una función no idéntica a cero

Question

Si consideramos la región $U = \{z\in\mathbb{C} : Im(z) \ne 0 \}$ y la secuencia $z_n = (1+n^{-1})i$ podemos encontrar una función holomorfa que no sea idéntica a cero, pero que sea cero en $z_n$ ?

Ya he respondido a esta pregunta cuando $im(z) = 0$ no estaba excluido, en cuyo caso la respuesta es no por el teorema de la identidad. Sin embargo, ahora que se ha eliminado este punto problemático, supongo que la respuesta es probablemente sí, pero estoy luchando para construir dicha función, cualquier consejo sería apreciado.

Gracias

Answer 1

La secuencia $z_n = (1+n^{-1})i$ converge a $i\in U$ por lo que el teorema de la identidad nos dice que toda función holomorfa que desaparece en todo $z_n$ debe desaparecer idénticamente en el componente conectado de $U$ que contiene $i$ .

Así, un $f\in \mathscr{O}(U)$ desapareciendo en todo $z_n$ es idénticamente cero en el semiplano superior.

Pero como los semiplanos superior e inferior están separados por el eje real (y todo $z_n$ se encuentran en el semiplano superior), el comportamiento de $f$ en el semiplano inferior no está influenciado en absoluto por el comportamiento en el semiplano superior. Así que podemos tomar cualquier función $g$ holomorfo en el semiplano inferior, y

$$f(z) = \begin{cases} \; 0 &, \operatorname{Im} z > 0\\ g(z) &, \operatorname{Im} z < 0\end{cases}$$

es una función holomorfa en $U$ que se desvanece en todo $z_n$ y $f \equiv 0$ si y sólo si $g \equiv 0$ . Elección de $g(z) = 1$ o $g(z) = z$ (por citar dos sencillos ejemplos explícitos), obtenemos una función $f\in\mathscr{O}(U)$ desapareciendo en todo $z_n$ sin ser idéntico $0$ .