Es $f(x,y)=0~ \mu$ -¿a.e.?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R_{2}^{+}}\to \mathbb{R}$ sea una función medible tal que \begin {Ecuación} \int\limits_ {0}^{x} \int\limits_ {0}^{y}f(u,v)\N-, \mu (du,dv)=0 \qquad\forall \N - x,y>0. \end {Ecuación}

Aquí, $\mu$ es la medida bidimensional de Lebesgue. ¿Es entonces cierto que $f= 0$ [ $\mu$ -a.e]? Si no, ¿hay algún contraejemplo?

Se agradecería cualquier pista para enfocar el problema.

Answer 1

Escriba $f=f_1-f_2$ con $f_1\ge0$ y $f_2\ge0$ . Definir medidas $\mu_i$ por $$ \mu_i(E)=\int_E f_i \,d\mu. $$ De la suposición, se deduce inmediatamente que $\mu_1(R)=\mu_2(R)$ para cualquier rectángulo $R=(a,b)\times(c,d)$ . Un teorema de unicidad sobre la extensión de las medidas implica que $\mu_1=\mu_2$ en conjuntos de Borel. Dado que ambos son absolutamente continuos con respecto a la medida de Lebesgue, coinciden en el álgebra sigma de Lebesgue. Ahora es fácil demostrar que $f_1=f_2$ a.e., y por lo tanto $f=0$ a.e.