Convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n }{\sqrt{n^3-n+1}}$

Question

Por qué la siguiente serie

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n }{\sqrt{n^3-n+1}}$$

¿converge?

Answer 1

Tenga en cuenta que por la regla de L'Hospital, u otros métodos, $\lim_{n\to \infty} \frac{\log n}{n^{1/4}}=0$ . Así que si $n$ es lo suficientemente grande, $\log n \lt n^{1/4}$ .

Tenga en cuenta también que $n^3-n+1\gt n^3/4$ . Por lo tanto, si $n$ es lo suficientemente grande, entonces $$\frac{\log n}{\sqrt{n^3-n+1}}\lt \frac{2}{n^{5/4}}.$$ Se deduce por Comparación que nuestra serie converge.

Answer 2

A problema relacionado . Tenga en cuenta que, puede comparar como

$$ \frac{\ln n }{\sqrt{n^3-n+1}} \sim \frac{\ln n }{\sqrt{n^3}},$$

y la serie

$$ \sum_{n}\frac{\ln n }{\sqrt{n^3}} $$

converge por prueba integral .