Comprueba mi prueba rápida $P_1 \oplus P_2$ es proyectiva $\iff P_1,P_2$ son proyectivas.

Question

Sólo quiero comprobar si estoy en lo cierto en el $\Longrightarrow$ dirección. Este es el ejercicio 3 de Dummit Foote.

( $\Longleftarrow$ ) Dado el SES $0 \to L \to M \to N \to 0$ , $ Hom(P_1, -) \oplus Hom(P_2,-) = Hom(P_1 \oplus P_2, -)$ . Tome la suma directa de los dos SES de $Hom(P_1, -)$ y $Hom(P_2, -)$ para conseguir esta dirección.

( $\Longrightarrow$ )

WLOG, tomando $P_1$ . Estoy utilizando la Proposición 30.2 de Dummit&Foote (una de las equivalencias proyectivas). La fila más baja es exacta (derecha-exacta)

$$\begin{array}{} P_1 & \xrightarrow{g} & P_1 \oplus P_2 & \\ & \swarrow{F} & \downarrow{f} & \\ M & \xrightarrow{\phi} & N & \xrightarrow{} & 0 & \end{array}$$

Entonces, definiendo $F' = F\circ g$ y $f' = f\circ g$ son los homomorfismos necesarios.

Olvidé mencionarlo, $g: P_1 \to P_1 \oplus P_2$ es sólo $p_1 \to (p_1, p_2)$

Answer 1

Para mostrar $P_1$ es proyectiva hay que demostrar que cualquier mapa $f:P_1 \to N$ factores a través de M, es decir, mostrar que existe un mapa $g: P_1 \to M$ tal que $\phi g = f$ . Así que tu idea de involucrar la suma directa es correcta, pero tienes que cambiar un poco el orden de las operaciones.

Una alternativa sería utilizar el hecho de que un módulo es proyectivo si y sólo si es un sumando directo de un módulo libre. Se puede utilizar esto para hacer ambas direcciones en realidad.