fiberwise-cuasi-compact implica cuasi-compact?

Question

Sea $f\colon X\to \mathbb{A}^n_{\mathbb{C}}$ un morfismo de $\mathbb{C}$ -schemes. Suponga que $f$ está (a) separada, (b) plana, (c) localmente de tipo finito, (d) todas las fibras son cuasi compactas, ¿ $X$ es necesariamente cuasi compacta?

Answer 1

Sea $X$ el esquema obtenido al pegar los puntos genéricos de todos los $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_p$ para todos los puntos cerrados $p$ de $\mathbb{A}^1_{\mathbb C}$ . El morfismo obvio $X \to \mathbb{A}^1_{\mathbb C}$ es una biyección, pero $X$ no es cuasi-compacto.