la derivada de $\sin{x}$ es $\cos{x}$

Question

Puedo probar la $\sin'{x}=\cos{x}$ por fórmula $\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ pero la prueba no la conozco por la fórmula $\lim_{z\to x}{\frac{\sin{z}-\sin{x}}{z-x}}$ ? ¿Puede alguien darme la pista de su prueba?

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilizando Prostaféresis Fórmula,

$$\sin z-\sin x=2\sin\frac{z-x}2\cos\frac{z+x}2 $$

Utilice $\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h=1$

Answer 2

Esta es una forma directa de pensar $${\sin(z) - \sin(x)\over z - x} = {\sin(x + (z - x)) - \sin(x) \over z - x}. $$ ¿Lo ves ahora?

Answer 3

calculando el perímetro de un polígono regular situado entre sus círculos inscritos y exscritos tenemos: $$ \frac{\pi}n\cos\frac{\pi}n \lt \sin \frac{\pi}n\lt \frac{\pi}n $$ que, con continuidad, nos asegura que $\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h=1$

ahora mira

$$ \lim_{h\to0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin (x-h) }{2h} = \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h}$$ el fórmulas de ángulos compuestos empleadas aquí se deducen fácilmente de las definiciones utilizando la geometría elemental

Answer 4

Propongo esta prueba basada en el cálculo diferencial. Partimos de la definición $$\sin\left(x\right):=\sum_{k\in\mathbb{N}}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}.$$ Dejemos que $x\in\mathbb{R}$ . Elegimos $h\in\mathcal{B}_{\left|.\right|}\left(0,\eta\right)$ para $\eta<1$ . Tenemos :

$$\sin\left(x+h\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{x^{2n+1-k}h^{k}}{k!\left(2n+1-k\right)!}$$ $$=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}+\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}h+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^{n}\sum_{k=2}^{2n+1}\frac{x^{2n+1-k}h^{k}}{k!\left(2n+1-k\right)!}$$ $$=\sin\left(x\right)+h\cos\left(x\right)+\mathcal{R}_{x}\left(h\right).$$

El mapa $h\mapsto h\cos\left(x\right)$ es claramente lineal y continua desde $\mathcal{B}_{\left|.\right|}\left(0,\eta\right)$ a $\mathbb{R}$ . En cuanto al resto, tenemos :

$$\left|\mathcal{R}_{x}\left(h\right)\right|\leq\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=2}^{2n+1}\frac{\left|x\right|^{2n+1-k}\left|h\right|^{k}}{k!\left(2n+1-k\right)!}=\left|h\right|^{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=2}^{2n+1}\frac{\left|x\right|^{2n+1-k}\left|h\right|^{k-2}}{k!\left(2n+1-k\right)!}$$ $$=\left|h\right|^{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{p=0}^{2n-1}\frac{\left|x\right|^{2n-1-p}\left|h\right|^{p}}{\left(p+2\right)!\left(2n-1-p\right)!}\leq\left|h\right|^{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{p=0}^{2n-1}\frac{\left|x\right|^{2n-1-p}\left|h\right|^{p}}{p!\left(2n-1-p\right)!}$$ $$=\left|h\right|^{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left(\left|x\right|+\left|h\right|\right)^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!} =\left|h\right|^{2}\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{\left(\left|x\right|+\left|h\right|\right)^{2m+1}}{\left(2m+1\right)!}$$ $$\leq\left|h\right|^{2}\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{\left(\left|x\right|+\left|h\right|\right)^{m}}{m!}=\left|h\right|^{2}\exp\left(\left|x\right|+\left|h\right|\right)=\mathcal{O}\left(\left|h\right|^{2}\right).$$

Por lo tanto, cuando $\left|h\right|\rightarrow0$ tenemos $\left|\mathcal{R}_{x}\left(h\right)\right|\rightarrow0$ y por lo tanto $\mathrm{d}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$ .