Espacio vectorial y problema del mapa lineal

Question

Necesito resolver el siguiente problema: $V$ es un espacio vectorial, y $\phi$ es un mapa lineal desde $V \rightarrow V$ para que $\phi \cdot \phi = \phi$ . Tengo que demostrar que $$Ker(\phi) \cap Im(\phi)=\{0\}$$ y $$Ker(\phi) + Im(\phi)=V$$

Lo resolví diciendo que desde la definición $\phi(\phi(v))=\phi(v)$ Así es $\phi$ la función identidad, y así sigue la observación, pero no estoy seguro de que sea correcta, ¿alguien puede ayudarme? Muchas gracias :)

Answer 1

Cualquier elemento en $Im \phi$ es de la forma $\phi(v)$ . Si este elemento también está en el núcleo, entonces $0 = \phi(\phi(v)) = \phi(v)$ .

Para la segunda parte, escribe $v = v - \phi(v) + \phi(v)$ .

Answer 2

Si $v \in \ker \phi \cap {\rm Im}\,\phi$ entonces $\phi(v) = 0$ pero también $v = \phi(w)$ para algunos $w$ Así que $0 = \phi(v) = \phi(\phi(w)) = \phi(w) = v$ y la primera parte está hecha.

Para la segunda parte, $v = v - \phi(v) + \phi(v)$ lo hace, ya que $\phi(v-\phi(v)) = \phi(v) - \phi(\phi(v)) = 0$ .