Conjunto vacío bajo cuantificador existencial

Question

Dejemos que $U = \{s_1, s_2, s_\cdots, s_n\}$ sea el conjunto universal y $A = \{a_1, a_2, a_3,\cdots, a_m\}$ es el conjunto considerado.

Ahora, estoy probando $\forall_{x \in \{\}} p(x) = T$ como sigue

$$\forall_{x \in A} p(x) = \forall_{x \in u} (x \in A \implies p(x))$$ $$= (s_1 \in A \implies p(s_1)) \land (s_2 \in A \implies p(s_2)) \land \cdots (s_n \in A \implies p(s_n))$$

Por lo tanto, si $A = \{\}$ entonces la premisa en cada declaración condicional se convierte en falsa y el resultado será verdadero.

Pero no está funcionando para demostrar $\exists_{x \in \{\}} p(x) = T$ ;

¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Esto no funcionará porque $\exists x\in\{\},p(x)$ es falso.

Como dice Mauro en el primer comentario, $\exists x\in\{\},p(x)$ es azúcar sintáctico para $\exists x , (x\in\{\} \wedge p(x))$ . Pero $x\in\{\}$ nunca puede ser verdad, así que $x\in\{\} \wedge p(x)$ nunca es cierto, por lo que $\exists x , (x\in\{\} \wedge p(x))$ es falso.

Parece que te empeñas en ampliar la cuantificación a los elementos individuales de un conjunto. Eso no es necesario, y parece limitarte lógicamente a un conjunto universal finito. Pero estas afirmaciones son verdaderas independientemente de la cardinalidad de $U$ .