No se puede obtener el momento de inercia de la esfera hueca

Question

Estaba tratando de encontrar el momento de inercia de la esfera hueca que gira alrededor de un eje (horizontal en la figura) como en la figura de abajo. El momento de inercia será el doble del valor que obtendré tras considerar sólo una semiesfera. Ahora, si asumo que el espesor de la banda es t, entonces el área elemental se convierte en $2\pi r t$ .

ahora la masa elemental $dm = \rho*2\pi r t$ donde $\rho $ es la densidad de masa areal.

$\rho = \frac{M}{4\pi R^2} $

Pero de la figura, $r = R*cos\theta$ y $x = Rsin\theta$

y si $d\theta = t/R$ (ángulo = arco/radio) $=>$ $t = Rd\theta$

Ahora $dm$ se convierte en $ dm = \rho * 2\pi * R cos\theta * Rd\theta $

$dm = 2\pi \rho R^{2} cos\theta d\theta $

%5Cnewline&space;=&space;2%5Cpi&space;%5Crho&space;R%5E4&space;%5Cint_0%5E%7B%5Cpi/2%7Dsin%5E2%5Ctheta&space;&space;cos%5Ctheta&space;d%5Ctheta%5Cnewline&space;put&space;%5Chskip1cm&space;u&space;=&space;sin%5Ctheta&space;,then&space;%5Chskip1cm&space;du&space;=&space;cos%5Ctheta&space;d%5Ctheta%5Cnewline&space;now,&space;%5Cfrac%7BI%7D%7B2%7D&space;=&space;2%5Cpi&space;%5Crho&space;R%5E4&space;%5Cint_0%5E%7B1%7Du%5E2du%5Cnewline&space;=&space;2%5Cpi&space;%5Crho&space;R%5E4&space;(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-&space;%5Cfrac%7B0%7D%7B3%7D)%5Cnewline&space;%5Cfrac%7BI%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B2%5Cpi&space;%5Crho&space;R%5E4%7D%7B3%7D%5Cnewline "\frac{I}{2} = \int_0^{\pi/2}dmx^2 \newline = \int_0^{\pi/2}2\pi \rho R^{2} cos\theta d\theta (Rsin\theta)^2)\newline = 2\pi \rho R^4 \int_0^{\pi/2}sin^2\theta * cos\theta d\theta\newline put \hskip1cm u = sin\theta ,then \hskip1cm du = cos\theta d\theta\newline now, \frac{I}{2} = 2\pi \rho R^4 \int_0^{1}u^2du\newline = 2\pi \rho R^4 (\frac{1}{3}- \frac{0}{3})\newline \frac{I}{2}=\frac{2\pi \rho R^4}{3}\newline")

Ahora bien, si traigo 2 derecho que se está extendiendo en ambos hemisferios, entonces

Pero $4\pi R^2 \rho$ es la masa total $M$ Así que

Pero la respuesta esperada es $\frac{2}{3}MR^2$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Su tratamiento es impar. Su banda (el anillo) tendrá sentido si el eje es vertical (etiquetado como "X" en su figura), porque entonces tendrá una gran simetría sobre el eje vertical. Para el eje horizontal, su banda no tiene una buena simetría, por lo que tendrá dificultades para integrarla. En concreto, su $dI$ no es igual a $dm x^2$ porque cada parte de la banda tiene una distancia diferente del eje horizontal. Para los extremos izquierdo y derecho, la distancia es $x$ así $dI=dmx^2$ . En otros lugares, utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia verdadera. De nuevo, tendrás dificultades para integrarla porque carece de simetría.