Equivalencia en Múltiples Algebraicos (Variedad)

Question

Dejemos que $V\subset A$ sea una variedad no vacía. Demuestre que las siguientes son equivalentes:

$i)$ $V$ es un punto.

$ii)$ $\Gamma (V)=K$

$iii)$ $\dim_{K} \Gamma (V)< \infty$

Dejemos que $V\subset A^n$ sea una variedad no vacía. Entonces $I(V)$ es un ideal primo en $K[X_{1},\ldots,X_{n}]$ así que $K[X_{1},\ldots,X_{n}]/I(V)$ es un dominio. Dejamos que $\Gamma (V)=K[X_{1},\ldots,X_{n}]/I(V)$ y lo llamamos anillo de coordenadas de $V$ .

Answer 1

Voy a dar algunas pistas sobre las implicaciones:

$i) \Rightarrow ii):$ Si $V$ es un punto, entonces su ideal debe ser máximo. (...)

$ii) \Rightarrow iii):$ Este es un poco trivial. $K$ es un $K$ -espacio vectorial sobre sí mismo.

$iii) \Rightarrow i):$ Si el anillo de coordenadas es de dimensión finita, entonces es artiniano, por lo tanto de dimensión cero.