La raíz positiva más pequeña de un polinomio con coeficientes acotados

Question

Dado es un número entero positivo $n$ . Un polinomio tiene todos los coeficientes enteros cuyo valor absoluto no supera $n$ . ¿Cuál es la raíz positiva más pequeña posible, si es que existe?

Si la raíz es racional, entonces por el teorema de la raíz racional, no puede ser menor que $1/n$ . El polinomio $nx-1=0$ tiene $x=1/n$ como única solución. Pero si una raíz es irracional, ¿puede ser menor que $1/n$ ?

Answer 1

Sea el polinomio $f(x)=a_kx^k+a_{k+1}x^{k+1}+\dots+ a_mx^m$ , donde $a_k\neq 0$ . Tenga en cuenta que si $0<x<1$ entonces $|a_k x^k|\geq x^k$ y $|a_{k+1}x^{k+1}+\dots+a_mx^m|< n\sum_{j=k+1}^\infty x^j=\frac{nx^{k+1}}{1-x}.$ Esto da un límite inferior a cualquier raíz $x$ tal que $0<x<1$ : debemos tener $x^k< \frac{nx^{k+1}}{1-x}$ lo que equivale a $$x>\frac{1}{n+1}.$$

(Nótese que este límite no requiere realmente los coeficientes de $f(x)$ para ser enteros. Sólo requiere que todos ellos tengan valor absoluto $\leq n$ y que el primer coeficiente no nulo tiene valor absoluto $\geq 1$ .)

A la inversa, podemos encontrar tales polinomios $f(x)$ con raíces positivas arbitrariamente cercanas a $\frac{1}{n+1}$ . En concreto, considere $$f_m(x)=1-\sum_{j=1}^m nx^j.$$ Tenga en cuenta que $f_m\left(\frac{1}{n+1}\right)$ converge a $0$ desde arriba como $m\to\infty$ . Además, para cualquier $\epsilon>0$ , $f_m\left(\frac{1}{n+1}+\epsilon\right)<0$ para todo lo que sea suficientemente grande $m$ (ya que puede elegir $m$ tal que $f_m\left(\frac{1}{n+1}\right)<\epsilon$ y $f_m\left(\frac{1}{n+1}\right)-f_m\left(\frac{1}{n+1}+\epsilon\right)\geq n\epsilon$ mirando sólo el término lineal). Por el teorema del valor intermedio, $f_m$ debe tener entonces una raíz entre $\frac{1}{n+1}$ y $\frac{1}{n+1}+\epsilon$ .