Primitivo para $f(x)=\frac{2+3x+x^2}{x(x^2+1)}.$

Question

Tengo que encontrar una primitiva de $$f(x)=\frac{2+3x+x^2}{x(x^2+1)}.$$

He intentado utilizar la descomposición parcial pero tengo problemas para evaluar esta fracción en $0$ .

Utilizando este método tenemos $f(x)=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}$ .

¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Usted tiene $a(x^2+1)+(bx+c)x=x^2+3x+2$ Así que

$x=0$ da $a=2$ ,

el coeficiente de $x$ da $c=3$ y

el coeficiente de $x^2$ da $a+b=1$ Así que $b=-1$ .

Esto le deja con $\displaystyle\int\left(\frac{2}{x}+\frac{-x+3}{x^2+1}\right)dx=2\int\frac{1}{x}dx-\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx+3\int\frac{1}{x^2+1}dx$

Answer 2

$\textbf{Hint:}$ 1. $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1} dx=\int \frac{1}{x} dx=\log|x|+C$

2. $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1} dx=\arctan x+C $