Encuentra el límite como $x$ tiende a $\frac{\pi}{4}$

Question

Al observar la gráfica correspondiente y diferenciarla después de reducirla a una forma diferente, sé que el ese límite es igual a $2$ pero no estoy seguro de cómo puedo mostrar esto algebraicamente. Se agradecerá cualquier sugerencia.

$$\lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{1-\tan x }{1-\sqrt2 \, \sin x}$$

Answer 1

$$\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{1-\tan x}{1-\sqrt2\sin x}$$

$$=\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{\cos x-\sin x}{1-\sqrt2\sin x}\cdot\frac1{\lim_{x\to\dfrac\pi4}(\cos x)}$$

$$=\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(1-\sqrt2\sin x)(1+\sqrt2\sin x)}\cdot\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{(1+\sqrt2\sin x)}{(\cos x+\sin x)}\cdot\frac1{\dfrac1{\sqrt2}}$$

$$=\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{\cos2x}{\cos2x}\cdot\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{(1+\sqrt2\sin x)}{(\cos x+\sin x)}\cdot\sqrt2$$

como $\displaystyle(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$

y $\displaystyle(1-\sqrt2\sin x)(1+\sqrt2\sin x)=1-2\sin^2x=\cos2x$

y como $\displaystyle x\to\dfrac\pi4,x\ne\dfrac\pi4,\cos2x\ne0$

Answer 2

$$\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{1-\tan x}{1-\sqrt2\sin x}$$

$$=\frac1{\sqrt2}\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{\tan x-1}{\sin x-\dfrac1{\sqrt2}}$$

$$=\frac1{\sqrt2}\frac{\lim_{x\to\dfrac\pi4}\left(\dfrac{\tan x-\tan\dfrac\pi4}{x-\dfrac\pi4}\right)}{\lim_{x\to\dfrac\pi4}\left(\dfrac{\sin x-\sin\dfrac\pi4}{x-\dfrac\pi4}\right)}$$

$$=\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{\dfrac{d(\tan x)}{dx}_{\left(\text{ at } x=\dfrac\pi4\right)}}{\dfrac{d(\sin x)}{dx}_{\left(\text{ at } x=\dfrac\pi4\right)}}$$

Answer 3

Siguiendo el camino de Orion, pondré $\displaystyle\frac\pi4-x=2y$

$$\lim_{x\to\dfrac\pi4}\frac{1-\tan x}{1-\sqrt2\sin x}$$

$$=\lim_{y\to0}\frac{1-\tan\left(\dfrac\pi4-2y\right)}{1-\sqrt2\sin\left(\dfrac\pi4-2y\right)}$$

$$=\lim_{y\to0}\frac{1-\dfrac{1-\tan2y}{1+\tan2y}}{1-(\cos2y-\sin2y)}$$

Utilizando ángulo doble la fórmula se convierte en,

$$2\frac1{\lim_{y\to0}(1+\tan2y)\cos2y}\cdot 2\lim_{y\to0}\frac{\sin2y}{2y}\frac1{\lim_{y\to0}\dfrac{\sin y}y} \cdot\frac1{\lim_{y\to0}(\sin y+\cos y)}$$

Obsérvese que todos los límites se reducen a $1$

Answer 4

Primero, conviértelo en límite alrededor de cero con: $$y=x-\frac{\pi}{4}$$ Expande todas las funciones trigonométricas con teoremas de adición. Las cosas se harán más evidentes entonces. A continuación, puedes utilizar l'Hospital, otras manipulaciones trigonométricas para anular las cosas, o simplemente la simple expansión de Taylor.

EDITAR:

$$\lim_{y\to 0}\frac{1-\tan(y+\pi/4)}{1-\sqrt{2}\sin(y+\pi/4)}$$ $$=\lim_{y\to 0}\frac{1-\frac{\tan y+\tan \pi/4}{1-\tan y \tan \pi/4}}{1-\sqrt{2}(\sin y\cos \frac{\pi}{4}+\cos y \sin{\frac{\pi}{4}})}$$ $$=\lim_{y\to 0}\frac{1-\frac{1+\tan y}{1-\tan y}}{1-(\sin y+\cos y)}$$ $$=\lim_{y\to 0}\frac{-2\tan y}{({1-\tan y})(1-(\sin y+\cos y))}$$ $$=\lim_{y\to 0}\frac{-2\tan y}{1-\sin y -\cos y-\tan y+(\sin^2 y/\cos y)+\sin y}$$ Multiplicar por el coseno en ambos lados $$=\lim_{y\to 0}\frac{-2\sin y}{1+\cos y -2\cos^2 y-\sin y}$$ Ya puedes resolver esto con l'Hospital: $$=\lim_{y\to 0}\frac{-2\cos y}{-\sin y -4\cos y\sin y-\cos y}=2$$

He simplificado demasiado a propósito, ya que podría hacerlo unas líneas antes. Pero es bueno tenerlo en esta forma en caso de que quieras aplicar otros métodos (especialmente el enfoque de Taylor).