Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, y considere para cada conjunto abierto $U \subseteq X$ un conjunto $F_U$ de las funciones $U \to k$ en algún campo fijo $k$ . Dejemos que $\mathcal{O}$ sea la gavilla de $k$ -inducidas por las $F_U$ es decir, la sub-hoja más pequeña de la hoja de todas las funciones en $k$ , de tal manera que $F_U \subseteq \mathcal{O}(U)$ para todos $U$ .
Supongamos que sabemos que para cualquier conjunto abierto $U$ y cualquier $f \in F_U$ el conjunto $D(f) \subseteq X$ de no-zeros de $f$ está abierto, y $\frac{1}{f} : D(f) \to k$ es un elemento de $F_{D(f)}$ . ¿Podemos concluir que lo mismo ocurre con todas las funciones de $\mathcal{O}$ para que $(X,\mathcal{O})$ resulta ser un espacio localmente anillado?
Creo que esto es cierto, y he intentado demostrarlo de forma inductiva: Dejemos que $\mathcal{O}'$ consisten en aquellas funciones $f$ de $\mathcal{O}$ para lo cual $D(f)$ está abierto y $\frac{1}{f}$ es un elemento de $\mathcal{O}(D(f))$ . Si pudiéramos demostrar que $\mathcal{O}'$ es una gavilla de $k$ -También en el caso de las álgebras, la consecuencia sería $\mathcal{O}'= \mathcal{O}$ por definición de $\mathcal{O}$ y de ahí la reclamación. De hecho, las propiedades de la gavilla y la mayoría de las $k$ -Las propiedades del álgebra son fáciles de demostrar, pero la propiedad de cierre bajo la adición da problemas. ¿Cómo podemos demostrar que $D(f+g)$ está abierto, y que $\frac{1}{f+g}$ es un elemento de $\mathcal{O}$ si $f$ y $g$ son elementos de $\mathcal{O}'$ con el mismo dominio? ¿Es cierto?
Gracias de antemano.
