Problema de álgebra exponencial con 2 bases diferentes

Question

$\sqrt[{3x-1}]{\sqrt[{8-3x}]{(-x)^x}}=\sqrt[{5x}]{2x}$

¿Alguna idea de cómo podría enfocar esto?

Llegué a este punto:

$(-x)^\frac x{(3x-1)(8-3x)}=(2x)^\frac1{5x}$

Gracias por la respuesta (x = 2) pero si graficamos esta función ¿por qué sólo tenemos un punto de intersección que se encuentra en x = 0 y la f(x) es igual a 1?

¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Probablemente no es el tipo de solución que esperabas, pero hagamos esto.
Si $x$ es negativo, el RHS no tiene sentido $($ "raíz menos un tercio $)$ . Si $x$ es positivo, entonces el LHS no tiene sentido a menos que :

$$3x-1 > 0 \iff x>\frac13$$ $$8-3x>0\iff x<\frac83$$ $$x \text{ is an integer}$$

donde la última condición es necesaria para que $(-x)^x$ para que tenga sentido. Esto nos dejaría con $x=1,2$ como nuestras únicas opciones.

Podemos comprobar fácilmente que $x=1$ no es bueno, pero $x=2$ hace el truco.