Una confusión sobre la definición de las funciones continuas.

Question

Supongamos que $f:X→Y$ es una cartografía continua y no subjetiva.

Supongamos también que existe un conjunto abierto $A\subset Y$ que contiene puntos que no están en $f(X)$ . ¿Qué es lo que $f^{−1}(A)$ ¿ser? ¿Estaría siquiera definida?

Aunque esto pueda parecer trivial, la lectura de una respuesta en algún lugar me ha hecho cuestionar tales fundamentos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $A$ es tal que $f(x)\notin A$ para todos $x\in X$ . Entonces tenemos: $$f^{-1}(A)=\{x\in X\mid f(x)\in A\}=\varnothing.$$

No hay nada malo en que los conjuntos tengan una preimagen vacía.

Answer 2

Sólo tienes que considerar $f^{-1}(A) \cap X$ . Puedes considerarlo como $f^{-1}(A\cap Y)= f^{-1}(A)\cap X$ ya que $f^{-1}(Y)=X$