Prueba de que compacto implica cerrado

Question

Estoy estudiando por mi cuenta al bebé Rudin y tratando de demostrar cada teorema sin mirar cómo lo hace el libro. Hasta ahora me ha ayudado a comprender mejor el material. Aquí está la prueba que se me ocurrió para demostrar que los subconjuntos compactos de los espacios métricos son cerrados .

Prueba. Dejemos que $K$ sea un subconjunto compacto de un espacio métrico $X$ . Dejemos que $x$ sea un punto límite de $K$ (es decir, cada bola sobre $x$ contiene un punto $y\neq x$ con $y\in K$ ). Supongamos, en aras de la contradicción, que $x\not\in K$ .

Definir un conjunto $$U=\bigcup_{y\in K}B(y;d(x,y)/2),$$ para que $U$ es una tapa abierta para $K$ . Tenga en cuenta que $x\not\in U$ . (Porque si $x\in U$ entonces $d(x,y)<d(x,y)/2$ para algunos $y\in K$ (lo cual es imposible).

Por compacidad, toma una subcubierta finita $$V=\bigcup_{j=1}^nB(y_j;d(x,y_j)/2)$$ para $K$ y que $r=\min_id(x,y_i)/2$ . Ahora mostramos $B(x;r)$ es disjunta de $V$ . De hecho, si $z\in B(x;r)\cap V$ entonces $d(z,x)<r$ y $z\in B(y_j;d(x,y_j)/2)$ para algunos $y_j$ . La primera condición implica $d(z,x)<d(x,y_j)/2$ . La segunda condición implica $d(z,y_j)<d(x,y_j)/2$ . La desigualdad del triángulo da $$d(x,y_j)\leq d(z,x)+d(z,y_j)<d(x,y_j)/2+d(x,y_j)/2=d(x,y_j),$$ que es imposible. Por lo tanto, $B(x;r)$ y $V$ son disjuntos, por lo que acabamos de construir una bola sobre $x$ que no contiene puntos de $V$ y por extensión ningún punto de $K$ . Entonces $x$ no es un punto límite de $K$ , en contra de su definición.

Soy consciente de que Rudin da una prueba mucho más corta que muestra el complemento $K^c$ está abierto. Sólo me pregunto si mi prueba también es válida, y si se puede hacer más concisa. Sé que no siempre se prefieren las pruebas por contradicción, pero es la primera que se me ocurrió.

Answer 1

Esta es otra forma, supongamos que $x_k \to x$ con $x_k \in K$ . Desde $K$ es compacto existe una subsecuencia que converge a algún $x^*\in K$ . Dado que cualquier subsecuencia de una secuencia convergente converge al mismo punto, vemos que $x = x^* \in K$ y así $K$ está cerrado.