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Demuestra que el límite es $1$ utilizando la regla de L'Hòpital

$\lim_{n \to \infty} n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ utilizando la regla de L'Hòpital muestran que esto es $1$ . ¿Puede hacer esto ya que no hay una división y $n$ obviamente tenderá al infinito y $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ tenderá a $0$ ? Entonces, ¿los límites no coinciden?

Así que puse $u=n $

$du=1$

$v= \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$dv= -\frac{1}{n^2+n}$

Por lo tanto, $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n+1}$ en el que ambos tienden a $0$ así que estoy completamente perdido.

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mfl Puntos 11361

Sugerencia

$$\lim_{n\to \infty} n\ln \left(1+\frac1n\right)=\lim_{n\to \infty} \frac{\ln \left(1+\frac1n\right)}{\frac 1n}.$$

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Dr. MV Puntos 34555

$$\lim_{n\to \infty}n\log\left(1+\frac1n\right)=\lim_{n\to \infty}\frac{\log\left(1+\frac1n\right)}{1/n}\lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+1/n}\right)(-1/n^2)}{-1/n^2}=1$$

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Bernard Puntos 34415

Utilizar la regla de L'Hospital aquí es propiamente ridículo: fijar $\;\dfrac1n=x$ y observar que tenemos una tasa de variación: $$\lim_{n\to\infty}n\ln\Bigl(1+\frac1n\Bigr)=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=\bigl(\ln(1+x)\bigr)'_{x=0}=1.$$

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