Número de lugares arquimedianos de la extensión de los campos numéricos

Question

Dejemos que $L/K$ ser una extensión de los campos numéricos. ¿Existe alguna desigualdad clara entre $[L:K], \#M_{K}^{\infty}$ y $\#M_{L}^{\infty}$ ? Aquí $\#M_{K}^{\infty}$ es un número de lugares infinitos (arquimedianos) de $K$ . Si $r_{K}, s_{K}, r_{L}, s_{L}$ son el número de incrustaciones reales y complejas de $K$ y $L$ entonces tenemos $$[K:\mathbb{Q}] = r_{K} +2s_{K}, \quad \#M_{K}^{\infty} = r_{K} + s_{K}$$ y lo mismo para $L$ .

Answer 1

Es sólo una cuestión de contabilidad, pero para evitar confusiones, repitamos las convenciones sobre el lugares de un campo numérico $K$ . Dos valores absolutos ${\mid .\mid}_1$ y ${\mid .\mid}_2$ en $K$ se denominan equivalentes si los espacios topológicos que definen en $K$ son homeomórficas, si existe una constante real estrictamente positiva $\lambda$ s.t. ${\mid .\mid}_2={{\mid .\mid}_1}^{\lambda}$ . Un lugar es entonces una clase de equivalencia de valores absolutos.

1) Ciñámonos ahora a los lugares arquimédicos. El campo numérico $K$ admite $r_K$ incrustaciones reales ( = $\mathbf Q$ - isomorfismos de $K$ en $\mathbf R$ ) y $s_K$ pares de incrustaciones complejas conjugadas, de modo que $[K:\mathbf Q]=r_K +2s_K$ y el número de plazas de $K$ es $r_K +s_K$ . Recordemos que para una incrustación real $\sigma$ el valor absoluto ${\mid .\mid}_{\sigma}$ se define por ${\mid x\mid}_{\sigma}={\mid \sigma(x)\mid}$ para todos $x\in K$ , donde ${\mid .\mid}$ es el valor absoluto habitual en $\mathbf R$ . Mientras que para una incrustación compleja $\sigma$ se define ${\mid x\mid}_{\sigma}={\mid \sigma(x)\mid}^2={\mid x\mid}_{c\sigma}$ , donde $c$ denota la conjugación compleja y ${\mid .\mid}$ el módulo habitual en $\mathbf C$ . En este caso, la razón de tomar cuadrados es asegurar la llamada fórmula del producto $\prod_v {\mid x\mid}_v=1$ , el producto que se lleva sobre todos los lugares de $K$ .

2) Dada una extensión $L/K$ de grado $n$ es obvio que una incrustación compleja de $K$ sigue siendo una incrustación compleja de $L$ . Mientras que una incrustación real de $K$ a priori da lugar a $\rho_1$ incrustaciones reales y $2\rho_2$ incrustaciones complejas conjugadas de $L$ para que $r_L=\rho_1+\rho_2, s_L=\rho_2$ y $[L:K]=\rho_1+2\rho_2$ . Nótese que las fórmulas de 1) y 2) son coherentes porque $r_{\mathbf Q}=1$ y $s_{\mathbf Q}=0$ .

NB: Debido a los cuadrados en la definición de los valores absolutos complejos, en suele decir que un lugar real que se convierte en complejo en $L$ es ramificado (como en el caso de $p$ -lugares de la vida cotidiana). Pero al observar el número de incrustaciones, no es menos natural decir que el lugar real de $K$ divide en $L$ . Tal vez el término complejización de un lugar real sería el más apropiado.

Answer 2

Además de la respuesta de Nguyen Quang Do, permítanme decir unas palabras.

Mira cualquier lugar arquimédico en particular $\mathfrak p$ del subcampo $K$ . El caso que $\mathfrak p$ es complejo es más fácil de manejar. Entonces habrá exactamente $[L:K]$ lugares $\mathfrak P_1,\mathfrak P_2,\cdots,\mathfrak P_n$ "arriba" $\mathfrak p$ , todo complejo, por supuesto. Así que en caso $K$ es "totalmente complejo" (es decir, no tiene incrustaciones reales), obtenemos entonces $\#M_L=[L:k]\#M_K$ .

En caso de que su lugar arquimédico dado $\mathfrak p$ del subcampo $K$ es real, sin embargo, la situación se complica, algo menos si la extensión es de Galois. Porque en el caso de Galois, o bien todas las extensiones de $\mathfrak p$ son reales, o todos son complejos. En el primer caso, las extensiones son $[L:K]$ en número; en este último, hay $[L:K]/2$ de ellos.

En el caso restante que $\mathfrak p$ es real pero $L$ no es Galois sobre $K$ Todo lo que podemos decir es que habrá $m_1$ extensiones reales y $m_2$ extensiones complejas del valor absoluto arquimédico de $\mathfrak p$ Cada uno de estos últimos proviene de un par de incrustaciones complejas de $L$ para que $m_1+2m_2=[L:K]$ .

Creo que puedes averiguar cómo combinar todos estos hechos para tener una idea de cómo se puede comparar el número de lugares arquimédicos del campo grande con el del campo pequeño.

Answer 3

Le hice la misma pregunta a mi amigo, y esta es la respuesta que obtuve de él.

Supongamos que $L \neq K$ . Tenemos $$\sharp M_{K}^{\infty} = r_{K} + s_{K} \leq [K:\mathbb{Q}] \leq \frac{1}{2}[L:\mathbb{Q}] = \frac{1}{2}(r_{L} + 2s_{L}) \leq \sharp M_{L}^{\infty}.$$ Para la segunda desigualdad, hay que tener en cuenta que tenemos $r_{L} \leq [L:K] r_{K}$ ya que existe como máximo $[L:K]$ -mucha extensión de $\sigma : K\hookrightarrow \mathbb{R}$ a $\tilde{\sigma}:L\hookrightarrow \mathbb{R}$ . Entonces $$\sharp M_{L}^{\infty} = \frac{1}{2}([L:\mathbb{Q}] + r_{L}) \leq \frac{1}{2}[L:K]([K:\mathbb{Q}] + r_{K}) = [L:K]\sharp M_{K}^{\infty}.$$